Preálgebra Ejemplos

$\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}} - \frac{x}{y - x}$

Paso 1

Para escribir $\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x} - \frac{x}{y - x}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{x}{y - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x} - \frac{x}{y - x} \cdot \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y^{2} - x^{2}) (y - x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{2 x}{y^{2} - x^{2}}$ por $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{2 x (y - x)}{(y^{2} - x^{2}) (y - x)} - \frac{x}{y - x} \cdot \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{x}{y - x}$ por $\frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} - x^{2}}$ .

$\frac{2 x (y - x)}{(y^{2} - x^{2}) (y - x)} - \frac{x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(y^{2} - x^{2}) (y - x)$ .

$\frac{2 x (y - x)}{(y - x) (y^{2} - x^{2})} - \frac{x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x (y - x) - x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Paso 5

Reescribe $\frac{2 x (y - x) - x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$ en forma factorizada.

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Paso 5.1

Factoriza $x$ de $2 x (y - x) - x (y^{2} - x^{2})$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $2 x (y - x)$ .

$\frac{x (2 (y - x)) - x (y^{2} - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Paso 5.1.2

Factoriza $x$ de $- x (y^{2} - x^{2})$ .

$\frac{x (2 (y - x)) + x (- (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Paso 5.1.3

Factoriza $x$ de $x (2 (y - x)) + x (- (y^{2} - x^{2}))$ .

$\frac{x (2 (y - x) - (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 y + 2 (- x) - (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - (y^{2} - x^{2}))}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} - - x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Paso 5.5

Multiplica $- - x^{2}$ .

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Paso 5.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + 1 x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Paso 5.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{(y - x) (y^{2} - x^{2})}$

Paso 5.6

Factoriza.

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Paso 5.6.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = x$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{(y - x) ((y + x) (y - x))}$

Paso 5.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{(y - x) (y + x) (y - x)}$

Paso 5.7

Combina exponentes.

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Paso 5.7.1

Eleva $y - x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{1} (y - x) (y + x)}$

Paso 5.7.2

Eleva $y - x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{1} {(y - x)}^{1} (y + x)}$

Paso 5.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{1 + 1} (y + x)}$

Paso 5.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x (2 y - 2 x - y^{2} + x^{2})}{{(y - x)}^{2} (y + x)}$