Preálgebra Ejemplos

$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Paso 1

Para escribir $\frac{x}{x^{2} - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x}{x^{2} - 1}$ por $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$ en forma factorizada.

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Paso 5.1

Factoriza $x$ de $x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $5 x (x^{2} - 1)$ .

$\frac{x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.1.2

Factoriza $x$ de $x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))$ .

$\frac{x (x - x^{2} + 5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.2

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$\frac{x (u + 4 u^{2} - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.3.1

Reordena los términos.

$\frac{x (4 u^{2} + u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.3.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 5.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{x (4 u^{2} + 1 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.3.2.2

Reescribe $1$ como $- 4$ más $5$

$\frac{x (4 u^{2} + (- 4 + 5) u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (4 u^{2} - 4 u + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.3.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x ((4 u^{2} - 4 u) + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (4 u (u - 1) + 5 (u - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.3.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u - 1$ .

$\frac{x ((u - 1) (4 u + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.4

Factoriza.

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Paso 5.4.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$\frac{x ((x - 1) (4 x + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.5

Factoriza $x$ de $x - x^{2}$ .

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Paso 5.5.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x^{1} - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.5.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.5.3

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 + x (- x)) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.5.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.5.5

Multiplica $x$ por $1 - x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Paso 5.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1^{2})}$

Paso 5.7

Factoriza.

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Paso 5.7.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) ((x + 1) (x - 1))}$

Paso 5.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.8

Combina exponentes.

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Paso 5.8.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - x) (x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.8.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - (x)) (x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.8.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1 + x)) (x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.8.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (- 1 + x) (x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.8.5

Reordena los términos.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.8.6

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) (x + 1)}$

Paso 5.8.7

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) (x + 1)}$

Paso 5.8.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

Paso 5.8.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Paso 5.9

Reduce la expresión $\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Paso 5.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Paso 6

Reduce la expresión $\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $x - 1$ de $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x + 5}{- 1 (x - 1) (x + 1)}$