Preálgebra Ejemplos

$x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$

Paso 1

Factoriza $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Paso 1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{4} + 2 \cdot 2^{3} - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Paso 1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 + 2 \cdot 2^{3} - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Paso 1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$16 + 2 \cdot 8 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Paso 1.3.4

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 + 16 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Paso 1.3.5

Suma $16$ y $16$ .

$32 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Paso 1.3.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$32 - 11 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 36$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 11$ por $4$ .

$32 - 44 - 12 \cdot 2 + 36$

Paso 1.3.8

Resta $44$ de $32$ .

$- 12 - 12 \cdot 2 + 36$

Paso 1.3.9

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$- 12 - 24 + 36$

Paso 1.3.10

Resta $24$ de $- 12$ .

$- 36 + 36$

Paso 1.3.11

Suma $- 36$ y $36$ .

$0$

Paso 1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36}{x - 2}$

Paso 1.5

Divide $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ por $x - 2$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} - 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{3} - 8 x^{2}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x^{2} + 6 x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

Paso 1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

Paso 1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 18 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

Paso 1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

Paso 1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 18 x + 36$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

Paso 1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

$0$

Paso 1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Paso 1.6

Escribe $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ como un conjunto de factores.

$(x - 2) (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18)$

Paso 2

Factoriza $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Paso 2.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Paso 2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Paso 2.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 18$

Paso 2.3.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$8 + 16 - 3 \cdot 2 - 18$

Paso 2.3.5

Suma $8$ y $16$ .

$24 - 3 \cdot 2 - 18$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$24 - 6 - 18$

Paso 2.3.7

Resta $6$ de $24$ .

$18 - 18$

Paso 2.3.8

Resta $18$ de $18$ .

$0$

Paso 2.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$

Paso 2.5

Divide $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ por $x - 2$ .

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Paso 2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

Paso 2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$

Paso 2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Paso 2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Paso 2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Paso 2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

Paso 2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Paso 2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $9 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Paso 2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Paso 2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $9 x - 18$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Paso 2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

Paso 2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 6 x + 9$

Paso 2.6

Escribe $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ como un conjunto de factores.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 6 x + 9))$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 6 x + 3^{2}))$

Paso 3.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 3.1.3

Reescribe el polinomio.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}))$

Paso 3.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x - 2) ((x - 2) {(x + 3)}^{2})$

Paso 3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 2) (x - 2) {(x + 3)}^{2}$

Paso 4

Combina factores semejantes.

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Paso 4.1

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

${(x - 2)}^{1} (x - 2) {(x + 3)}^{2}$

Paso 4.2

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} {(x + 3)}^{2}$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x - 2)}^{1 + 1} {(x + 3)}^{2}$

Paso 4.4

Suma $1$ y $1$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}$