Preálgebra Ejemplos

$\frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} + 6 a + 9} \div \frac{a^{2} + 2 a}{a - 3} \div \frac{a^{2} + 5 a + 6}{a - 2}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} + 6 a + 9} \div \frac{a^{2} + 2 a}{a - 3} \cdot \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 2

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} + 6 a + 9} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{a^{2} + 4 a + 2^{2}}{a^{2} + 6 a + 9} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2}}{a^{2} + 6 a + 9} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 2$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{a^{2} + 6 a + 9} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{a^{2} + 6 a + 3^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 a = 2 \cdot a \cdot 3$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 3$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Factoriza $a$ de $a^{2} + 2 a$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $a$ de $a^{2}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a \cdot a + 2 a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 5.1.2

Factoriza $a$ de $2 a$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a \cdot a + a \cdot 2} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 5.1.3

Factoriza $a$ de $a \cdot a + a \cdot 2$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a (a + 2)} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $a + 2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $a + 2$ de ${(a + 2)}^{2}$ .

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a (a + 2)} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 5.2.2

Factoriza $a + 2$ de $a (a + 2)$ .

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{(a + 2) a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{(a + 2) a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{a + 2}{{(a + 3)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a} \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{a + 2}{{(a + 3)}^{2}}$ por $\frac{a - 3}{a}$ .

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} a} \cdot \frac{a - 2}{a^{2} + 5 a + 6}$

Paso 6

Factoriza $a^{2} + 5 a + 6$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} a} \cdot \frac{a - 2}{(a + 2) (a + 3)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $a + 2$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} a} \cdot \frac{a - 2}{(a + 2) (a + 3)}$

Paso 7.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a - 3}{{(a + 3)}^{2} a} \cdot \frac{a - 2}{a + 3}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{a - 3}{{(a + 3)}^{2} a}$ por $\frac{a - 2}{a + 3}$ .

$\frac{(a - 3) (a - 2)}{{(a + 3)}^{2} a (a + 3)}$

Paso 8

Eleva $a + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(a - 3) (a - 2)}{a ({(a + 3)}^{2} {(a + 3)}^{1})}$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(a - 3) (a - 2)}{a {(a + 3)}^{2 + 1}}$

Paso 10

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{(a - 3) (a - 2)}{a {(a + 3)}^{3}}$