Preálgebra Ejemplos

$216 x^{6} + 19 x^{3} - 1$

Paso 1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{3})}^{2}$ .

$216 {(x^{3})}^{2} + 19 x^{3} - 1$

Paso 2

Sea $u = x^{3}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{3}$ .

$216 u^{2} + 19 u - 1$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 216 \cdot - 1 = - 216$ y cuya suma es $b = 19$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $19$ de $19 u$ .

$216 u^{2} + 19 (u) - 1$

Paso 3.1.2

Reescribe $19$ como $- 8$ más $27$

$216 u^{2} + (- 8 + 27) u - 1$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$216 u^{2} - 8 u + 27 u - 1$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(216 u^{2} - 8 u) + 27 u - 1$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$8 u (27 u - 1) + 1 (27 u - 1)$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $27 u - 1$ .

$(27 u - 1) (8 u + 1)$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$(27 x^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Paso 5

Reescribe $27 x^{3}$ como ${(3 x)}^{3}$ .

$({(3 x)}^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Paso 6

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$({(3 x)}^{3} - 1^{3}) (8 x^{3} + 1)$

Paso 7

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 3 x$ y $b = 1$ .

$(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Paso 8.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Paso 8.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Paso 8.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (8 x^{3} + 1)$

Paso 9

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1)$

Paso 10

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1^{3})$

Paso 11

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Paso 12

Factoriza.

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Paso 12.1

Simplifica.

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Paso 12.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (2^{2} x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Paso 12.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Paso 12.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}))$

Paso 12.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2}))$

Paso 12.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1))$

Paso 12.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$