Preálgebra Ejemplos

$\frac{y^{2} - 13}{y^{2} - 2 y - 3} - \frac{1}{3 - y}$

Paso 1

Factoriza $y^{2} - 2 y - 3$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{3 - y}$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3) - y}$

Paso 2.2

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3) - (y)}$

Paso 2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 3) - (y)$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3 + y)}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (y - 3)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)}$

Paso 4

Para escribir $- \frac{1}{- 1 (y - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Paso 5

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y - 3) (y + 1) \cdot - 1$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{(y - 3) (y + 1) \cdot - 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{- 1 (y - 3)}$ por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{(y - 3) (y + 1) \cdot - 1} - \frac{y + 1}{- 1 (y - 3) (y + 1)}$

Paso 5.3

Reordena los factores de $(y - 3) (y + 1) \cdot - 1$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{- (y + 1) (y - 3)} - \frac{y + 1}{- 1 (y - 3) (y + 1)}$

Paso 5.4

Reordena los factores de $- 1 (y - 3) (y + 1)$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{- (y + 1) (y - 3)} - \frac{y + 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} \cdot - 1 - 13 \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2} - 13 \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.3

Multiplica $- 13$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2} + 13 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.4

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 13 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- y^{2} + 13 - y - 1 \cdot 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- y^{2} + 13 - y - 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.7

Resta $1$ de $13$ .

$\frac{- y^{2} - y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.8

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 7.8.1.1

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{- y^{2} - (y) + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.8.1.2

Reescribe $- 1$ como $3$ más $- 4$

$\frac{- y^{2} + (3 - 4) y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- y^{2} + 3 y - 4 y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- y^{2} + 3 y) - 4 y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{y (- y + 3) + 4 (- y + 3)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 7.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- y + 3$ .

$\frac{(- y + 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $- y + 3$ y $y - 3$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{(- (y) + 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 8.1.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{(- (y) - 1 (- 3)) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 8.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 8.1.4

Reescribe $- (y - 3)$ como $- 1 (y - 3)$ .

$\frac{- 1 (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 8.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Paso 8.1.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (y + 4)}{- (y + 1)}$

Paso 8.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y + 4}{y + 1}$