Preálgebra Ejemplos

$\frac{x - 4}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} + 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) (x + 3) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 3)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x + 2) (x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)} + \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 4) (x - 2) + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(x - 4) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 2) - 4 (x - 2) + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 (x - 2) + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 2 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 4 x + 8 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.2.2

Resta $4 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + (x - 1) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.3

Expande $(x - 1) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x (x + 3) - 1 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.4.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.4.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 3 x - x - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.4.2

Resta $x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8 + x^{2} + 2 x - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.5

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 8 + 2 x - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.6

Suma $- 6 x$ y $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 8 - 3}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$

Paso 6.7

Resta $3$ de $8$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x + 3) (x - 2)}$