Preálgebra Ejemplos

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} < \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$

Paso 1

Resta $\frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16} < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ .

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 4^{2}} < 0$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{x + 1}{x - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{x - 2}{x + 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 4) (x + 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{x + 1}{x - 4}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{x - 2}{x + 4}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1

Expande $(x + 1) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 4) + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.2.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.2.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.2.2

Suma $4 x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.3

Expande $(x - 2) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.7.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x (x - 4) - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.7.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.4.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 x - 2 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.4.2

Resta $2 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.6

Simplifica.

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Paso 2.7.6.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.7.6.2

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.8

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.9

Suma $2 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.10

Resta $6 x$ de $5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x + 4 + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.11

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 4 + 8 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.12

Suma $4$ y $8$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 12 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.13

Resta $32$ de $12$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.14

Simplifica el numerador.

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Paso 2.14.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2} - 2 x - 20$ .

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Paso 2.14.1.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.14.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.14.1.3

Factoriza $2$ de $- 20$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.14.1.4

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.14.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.14.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.14.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 2.14.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - (x) - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.14.2.1.2

Reescribe $- 1$ como $4$ más $- 5$

$\frac{2 (2 x^{2} + (4 - 5) x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.14.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.14.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.14.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.14.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (2 x (x + 2) - 5 (x + 2))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 2.14.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 2$ .

$\frac{2 ((x + 2) (2 x - 5))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 5$

Paso 6

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 7

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 8

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 9

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 2$

$x = \frac{5}{2}$

$x = - 4$

$x = 4$

Paso 10

Consolida las soluciones.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Paso 11

Obtén el dominio de $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ .

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Paso 11.1

Establece el denominador en $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x$

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Paso 11.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 11.2.2

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.2.2.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 11.2.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 11.2.3

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.2.3.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 11.2.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 11.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 4) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = - 4, 4$

Paso 11.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

Paso 13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 13.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 13.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 6) + 1}{(- 6) - 4} + \frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} < \frac{- 2 {(- 6)}^{2} - 6 + 32}{{(- 6)}^{2} - 16}$

Paso 13.1.3

$4.5$ del lado izquierdo no es menor que $- 2.3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 13.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 13.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 3) + 1}{(- 3) - 4} + \frac{(- 3) - 2}{(- 3) + 4} < \frac{- 2 {(- 3)}^{2} - 3 + 32}{{(- 3)}^{2} - 16}$

Paso 13.2.3

$- 4.\overline{714285}$ del lado izquierdo es menor que $- 1.\overline{571428}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 13.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < \frac{5}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < \frac{5}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 13.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 4} + \frac{(0) - 2}{(0) + 4} < \frac{- 2 {(0)}^{2} + 0 + 32}{{(0)}^{2} - 16}$

Paso 13.3.3

$- 0.75$ del lado izquierdo no es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 13.4

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5}{2} < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.4.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{5}{2} < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 13.4.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{(3) + 1}{(3) - 4} + \frac{(3) - 2}{(3) + 4} < \frac{- 2 {(3)}^{2} + 3 + 32}{{(3)}^{2} - 16}$

Paso 13.4.3

$- 3.\overline{857142}$ del lado izquierdo es menor que $- 2.\overline{428571}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 13.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 13.5.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{(6) + 1}{(6) - 4} + \frac{(6) - 2}{(6) + 4} < \frac{- 2 {(6)}^{2} + 6 + 32}{{(6)}^{2} - 16}$

Paso 13.5.3

$3.9$ del lado izquierdo no es menor que $- 1.7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 13.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$\frac{5}{2} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$\frac{5}{2} < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 < x < - 2$ o $\frac{5}{2} < x < 4$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 4 < x < - 2 or \frac{5}{2} < x < 4$

Notación de intervalo:

$(- 4, - 2) \cup (\frac{5}{2}, 4)$

Paso 16