Preálgebra Ejemplos

Add: $\frac{x}{x^{2} + 7 x + 12} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} + 7 x + 12$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $7$ .

$3, 4$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 16}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{x^{2} - 4^{2}}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 3) (x + 4) (x - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{(x + 3) (x + 4)}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{4}{(x + 4) (x - 4)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 4) (x - 4) (x + 3)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x + 4) (x - 4) (x + 3)$ .

$\frac{x (x - 4)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x - 4) + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Paso 6.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 4 (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Paso 6.5

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Paso 6.6

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$

Paso 6.7

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 12}{(x + 3) (x + 4) (x - 4)}$