Preálgebra Ejemplos

$\frac{3}{x^{2} + 2 x - 15} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} + 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $2$ .

$- 3, 5$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{3}{(x - 3) (x + 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 3) {(x + 5)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3}{(x - 3) (x + 5)}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5) (x + 5)} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Paso 4.2

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) ({(x + 5)}^{1} (x + 5))} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Paso 4.3

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{1 + 1}} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{2}} - \frac{4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{4}{{(x + 5)}^{2}}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 (x + 5)}{(x - 3) {(x + 5)}^{2}} - \frac{4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 4.7

Reordena los factores de $(x - 3) {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{3 (x + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)} - \frac{4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (x + 5) - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot 5 - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{3 x + 15 - 4 (x - 3)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 15 - 4 x - 4 \cdot - 3}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$\frac{3 x + 15 - 4 x + 12}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 6.5

Resta $4 x$ de $3 x$ .

$\frac{- x + 15 + 12}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 6.6

Suma $15$ y $12$ .

$\frac{- x + 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 7.2

Reescribe $27$ como $- 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x - 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Reescribe $- (x - 27)$ como $- 1 (x - 27)$ .

$\frac{- 1 (x - 27)}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$

Paso 7.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x - 27}{{(x + 5)}^{2} (x - 3)}$