Preálgebra Ejemplos

$\frac{3 x - 2}{x} - 4 > 0$

Paso 1

Simplifica $\frac{3 x - 2}{x} - 4$ .

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Paso 1.1

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x - 2}{x} - 4 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Paso 1.2

Combina $- 4$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x - 2}{x} + \frac{- 4 x}{x} > 0$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x - 2 - 4 x}{x} > 0$

Paso 1.4

Resta $4 x$ de $3 x$ .

$\frac{- x - 2}{x} > 0$

Paso 1.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 2}{x} > 0$

Paso 1.6

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (2)}{x} > 0$

Paso 1.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2)}{x} > 0$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2)}{x} > 0$

Paso 1.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 2}{x} > 0$

Paso 2

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - 2$

Paso 5

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 2$

Paso 6

Obtén el dominio de $\frac{3 x - 2}{x} - 4$ .

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{3 x - 2}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 6.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (- 4) - 2}{- 4} - 4 > 0$

Paso 8.1.3

$- 0.5$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (- 1) - 2}{- 1} - 4 > 0$

Paso 8.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (2) - 2}{2} - 4 > 0$

Paso 8.3.3

$- 2$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 < x < 0$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 2 < x < 0$

Notación de intervalo:

$(- 2, 0)$

Paso 11