Preálgebra Ejemplos

$\frac{x + 8}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x + 8}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x + 8}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) {(x - 2)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 2)}$

Paso 4.3

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}$

Paso 4.4

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1}}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) {(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.7

Reordena los factores de $(x + 2) {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 8) (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(x + 8) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 2) + 8 (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 8 (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 8 x + 16 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.2.2

Suma $2 x$ y $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.3

Expande $(3 x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x (x - 2) - 2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.4.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 6 x - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 6 x - 2 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.4.2

Resta $2 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 8 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.5

Suma $x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 10 x + 16 - 8 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.6

Resta $8 x$ de $10 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 16 + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.7

Suma $16$ y $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.8

Factoriza $2$ de $4 x^{2} + 2 x + 20$ .

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Paso 6.8.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 x + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.8.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (x) + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.8.3

Factoriza $2$ de $20$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 10}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.8.4

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 x$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot 10}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Paso 6.8.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot 10$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + x + 10)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$