Preálgebra Ejemplos

$\frac{x - 4}{x^{2} - 2 x} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 2 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x - 2 x} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x + x \cdot - 2} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{x^{2} - 4}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x - 2) (x + 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x - 2) (x + 2)} + \frac{4}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{4}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x - 2) (x + 2)} + \frac{4 x}{(x + 2) (x - 2) x}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $x (x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{4 x}{(x + 2) (x - 2) x}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x + 2) (x - 2) x$ .

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 4) (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(x - 4) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 2) - 4 (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 4 (x + 2) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 4 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.2.2

Resta $4 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.3

Suma $- 2 x$ y $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 6.4

Factoriza $x^{2} + 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 6.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 6.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 4}{x (x + 2)}$