Álgebra lineal Ejemplos

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d & g h & j \end{matrix}] [\begin{matrix} a b \end{matrix}] + [\begin{matrix} A^{- 1} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d & g \\ h & j \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{c} A^{- 1} \\ 0 \end{array}] q i$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Multiplica

[\begin{matrix} d & g h & j \end{matrix}] [\begin{matrix} a b \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} d & g \\ h & j \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}]$ .

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Paso 1.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

2 \times 2

$2 \times 2$ and the second matrix is

2 \times 1

$2 \times 1$ .

Paso 1.1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} A^{- 1} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} A^{- 1} \\ 0 \end{array}] q i$

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} A^{- 1} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} A^{- 1} \\ 0 \end{array}] q i$

Paso 1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}] q i$

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}] q i$

Paso 2

Reordena los factores en

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}] q i$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + q i [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + q i [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}]$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica

q i

$q i$ por cada elemento de la matriz.

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} q i \frac{1}{A} q i \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} q i \frac{1}{A} \\ q i \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 3.1.2.1

Multiplica

q i \frac{1}{A}

$q i \frac{1}{A}$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Combina

\frac{1}{A}

$\frac{1}{A}$ y

$q$ .

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q}{A} i \\ q i \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.1.2.1.2

Combina

$\frac{q}{A}$ y

$i$ .

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ q i \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.1.2.2

Multiplica

$0$ por

$q$ .

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ 0 i \end{array}]$

Paso 3.1.2.3

Multiplica

$0$ por

$i$ .

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ 0 \end{array}]$

Paso 3.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b + 0 \end{array}]$

Paso 3.3

Suma

$h a + j b$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b \end{array}]$

Paso 4

Move all terms containing a variable to the left side.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 4.1.1

Resta

$[\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b \end{array}]$ de ambos lados de la ecuación.

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] - [\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b \end{array}] = 0$

Paso 4.1.2

Resta los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} a - (d a + g b + \frac{q i}{A}) \\ b - (h a + j b) \end{array}] = 0$

Paso 4.1.3

Simplify each element.

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Paso 4.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} a - (d a) - (g b) - \frac{q i}{A} \\ b - (h a + j b) \end{array}] = 0$

Paso 4.1.3.1.2

Elimina los paréntesis.

$[\begin{array}{c} a - d a - g b - \frac{q i}{A} \\ b - (h a + j b) \end{array}] = 0$

Paso 4.1.3.2

Simplifica cada término.

$[\begin{array}{c} a - d a - g b - \frac{q i}{A} \\ b - h a - j b \end{array}] = 0$