Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & 6 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $[\begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & 6 \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}]$ .

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Paso 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 3 a - 4 b \\ - 5 a + 6 b \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}]$

Paso 2

Write as a linear system of equations.

$3 a - 4 b = 5$

$- 5 a + 6 b = 3$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $a$ en $3 a - 4 b = 5$ .

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Paso 3.1.1

Suma $4 b$ a ambos lados de la ecuación.

$3 a = 5 + 4 b$

$- 5 a + 6 b = 3$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $3 a = 5 + 4 b$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término en $3 a = 5 + 4 b$ por $3$ .

$\frac{3 a}{3} = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 a}{3} = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

Paso 3.1.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $a$ por $\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $- 5 a + 6 b = 3$ por $\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$ .

$- 5 (\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}) + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 5 (\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}) + 6 b$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 (\frac{5}{3}) - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 5 (\frac{5}{3})$ .

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Paso 3.2.2.1.1.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 5}{3} - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.2.2

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$\frac{- 25}{3} - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$\frac{- 25}{3} - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 5 \frac{4 b}{3}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.3.1

Combina $- 5$ y $\frac{4 b}{3}$ .

$\frac{- 25}{3} + \frac{- 5 (4 b)}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.3.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{- 25}{3} + \frac{- 20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$\frac{- 25}{3} + \frac{- 20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25}{3} + \frac{- 20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $6 b$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b \cdot \frac{3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.3

Combina $6 b$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + \frac{6 b \cdot 3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{25}{3} + \frac{- 20 b + 6 b \cdot 3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 25 - 20 b + 6 b \cdot 3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.6

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{- 25 - 20 b + 18 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.7

Suma $- 20 b$ y $18 b$ .

$\frac{- 25 - 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.8

Reescribe $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$\frac{- 1 \cdot 25 - 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.9

Factoriza $- 1$ de $- 2 b$ .

$\frac{- 1 \cdot 25 - (2 b)}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.10

Factoriza $- 1$ de $- 1 (25) - (2 b)$ .

$\frac{- 1 (25 + 2 b)}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.2.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3

Resuelve $b$ en $- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{25 + 2 b}{3}) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1.1

Simplifica $- 3 (- \frac{25 + 2 b}{3})$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{25 + 2 b}{3}$ al numerador.

$- 3 \frac{- (25 + 2 b)}{3} = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.2.1.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) (\frac{- (25 + 2 b)}{3}) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.2.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot (- 1 \frac{- (25 + 2 b)}{3}) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.2.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (25 + 2 b) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Multiplica $25 + 2 b$ por $1$ .

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.2.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$25 + 2 b = - 9$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 9$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 9$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.3.1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$2 b = - 9 - 25$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.3.2

Resta $25$ de $- 9$ .

$2 b = - 34$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$2 b = - 34$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.4

Divide cada término en $2 b = - 34$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Divide cada término en $2 b = - 34$ por $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.4.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.3.1

Divide $- 34$ por $2$ .

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $b$ por $- 17$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$ por $- 17$ .

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 (- 17)}{3}$

$b = - 17$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $\frac{5}{3} + \frac{4 (- 17)}{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a = \frac{5 + 4 (- 17)}{3}$

$b = - 17$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Multiplica $4$ por $- 17$ .

$a = \frac{5 - 68}{3}$

$b = - 17$

Paso 3.4.2.1.2.2

Resta $68$ de $5$ .

$a = \frac{- 63}{3}$

$b = - 17$

Paso 3.4.2.1.2.3

Divide $- 63$ por $3$ .

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$a = - 21, b = - 17$