Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2} a & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Paso 1

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica $a^{2}$ por $a$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Multiplica $a^{2}$ por $a$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2} a^{1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Paso 1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2 + 1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Paso 1.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Paso 1.2

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{a}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{a}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{a}{a} & \frac{a}{a} & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Paso 1.2.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Paso 1.3

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - a R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - a R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a - a \cdot 1 & a^{3} - a \cdot 1 & 1 - a^{2} - a \frac{1 - a}{a} & 1 - a \frac{1}{a} \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Paso 1.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Paso 1.4

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 2 a - 2 a \cdot 1 & a + a^{2} - 2 a \cdot 1 & 2 - 2 a - 2 a \frac{1 - a}{a} & a + 2 - 2 a \frac{1}{a} \end{array}]$

Paso 1.4.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Paso 1.5

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{a^{3} - a}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{a^{3} - a}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ \frac{0}{a^{3} - a} & \frac{a^{3} - a}{a^{3} - a} & \frac{- a^{2} + a}{a^{3} - a} & \frac{0}{a^{3} - a} \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Paso 1.5.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Paso 1.6

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - (a^{2} - a) R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - (a^{2} - a) R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 - (a^{2} - a) \cdot 0 & a^{2} - a - (a^{2} - a) \cdot 1 & 0 - (a^{2} - a) (- \frac{1}{a + 1}) & a - (a^{2} - a) \cdot 0 \end{array}]$

Paso 1.6.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a (a - 1)}{a + 1} & a \end{array}]$

Paso 1.7

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{a + 1}{a (a - 1)}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{a + 1}{a (a - 1)}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot 0 & \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot 0 & \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot \frac{a (a - 1)}{a + 1} & \frac{a + 1}{a (a - 1)} a \end{array}]$

Paso 1.7.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Paso 1.8

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{a + 1} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{a + 1} R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 + \frac{1}{a + 1} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{a + 1} \cdot 0 & - \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a + 1} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Paso 1.8.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Paso 1.9

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - \frac{1 - a}{a} R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.9.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - \frac{1 - a}{a} R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1 - a}{a} \cdot 0 & 1 - \frac{1 - a}{a} \cdot 0 & \frac{1 - a}{a} - \frac{1 - a}{a} \cdot 1 & \frac{1}{a} - \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{a + 1}{a - 1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Paso 1.9.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & \frac{a + 2}{a} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Paso 1.10

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.10.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{a + 2}{a} - \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Paso 1.10.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{a^{2} - 2}{a (a - 1)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Paso 2

Las posiciones de pivote son las ubicaciones con el $1$ principal en cada fila. Las columnas pivote son las columnas que tienen una posición de pivote.

Posiciones de pivote: $a_{11}, a_{22},$ y $a_{33}$

Columnas pivote: $1, 2,$ y $3$