Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} - 3 & 4 & x \\ 5 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Paso 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 2.1.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 0 \cdot 2 - 1 \cdot 0$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Multiplica

$0$ por

$2$ .

$a_{11} = 0 - 1 \cdot 0$

Paso 2.1.2.2.2

Resta

$0$ de

$0$ .

$a_{11} = 0$

Paso 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 5 \cdot 2 - 2 \cdot 0$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1.1

Multiplica

$5$ por

$2$ .

$a_{12} = 10 - 2 \cdot 0$

Paso 2.2.2.2.1.2

Multiplica

$- 2$ por

$0$ .

$a_{12} = 10 + 0$

Paso 2.2.2.2.2

Suma

$10$ y

$0$ .

$a_{12} = 10$

Paso 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Paso 2.3.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 5 \cdot 1 - 2 \cdot 0$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1.1

Multiplica

$5$ por

$1$ .

$a_{13} = 5 - 2 \cdot 0$

Paso 2.3.2.2.1.2

Multiplica

$- 2$ por

$0$ .

$a_{13} = 5 + 0$

Paso 2.3.2.2.2

Suma

$5$ y

$0$ .

$a_{13} = 5$

Paso 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & x \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 2.4.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 4 \cdot 2 - x$

Paso 2.4.2.2

Multiplica

$4$ por

$2$ .

$a_{21} = 8 - x$

Paso 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & x \\ 2 & 2 \end{array} |$

Paso 2.5.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = - 3 \cdot 2 - 2 x$

Paso 2.5.2.2

Multiplica

$- 3$ por

$2$ .

$a_{22} = - 6 - 2 x$

Paso 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Paso 2.6.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = - 3 \cdot 1 - 2 \cdot 4$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.2.1.1

Multiplica

$- 3$ por

$1$ .

$a_{23} = - 3 - 2 \cdot 4$

Paso 2.6.2.2.1.2

Multiplica

$- 2$ por

$4$ .

$a_{23} = - 3 - 8$

Paso 2.6.2.2.2

Resta

$8$ de

$- 3$ .

$a_{23} = - 11$

Paso 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 0 \end{array} |$

Paso 2.7.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 4 \cdot 0 + 0 x$

Paso 2.7.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.2.1.1

Multiplica

$4$ por

$0$ .

$a_{31} = 0 + 0 x$

Paso 2.7.2.2.1.2

Multiplica

$0$ por

$x$ .

$a_{31} = 0 + 0$

Paso 2.7.2.2.2

Suma

$0$ y

$0$ .

$a_{31} = 0$

Paso 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & x \\ 5 & 0 \end{array} |$

Paso 2.8.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = - 3 \cdot 0 - 5 x$

Paso 2.8.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.2.1

Multiplica

$- 3$ por

$0$ .

$a_{32} = 0 - 5 x$

Paso 2.8.2.2.2

Resta

$5 x$ de

$0$ .

$a_{32} = - 5 x$

Paso 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 5 & 0 \end{array} |$

Paso 2.9.2

Evaluate the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = - 3 \cdot 0 - 5 \cdot 4$

Paso 2.9.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.2.2.1.1

Multiplica

$- 3$ por

$0$ .

$a_{33} = 0 - 5 \cdot 4$

Paso 2.9.2.2.1.2

Multiplica

$- 5$ por

$4$ .

$a_{33} = 0 - 20$

Paso 2.9.2.2.2

Resta

$20$ de

$0$ .

$a_{33} = - 20$

Paso 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 0 & - 10 & 5 \\ - (8 - x) & - 6 - 2 x & 11 \\ 0 & 5 x & - 20 \end{array}]$