Álgebra lineal Ejemplos

12 x - 3 y = - 6

$12 x - 3 y = - 6$ ,

2 x + 15 y = 30

$2 x + 15 y = 30$

Paso 1

Obtén la forma

A X = B

$A X = B$ del sistema de ecuaciones.

[\begin{matrix} 12 & - 3 2 & 15 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 6 30 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 12 & - 3 \\ 2 & 15 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la inversa de la matriz de coeficientes.

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Paso 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Paso 2.2

Find the determinant.

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Paso 2.2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

12 \cdot 15 - 2 \cdot - 3

$12 \cdot 15 - 2 \cdot - 3$

Paso 2.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica

12

$12$ por

15

$15$ .

180 - 2 \cdot - 3

$180 - 2 \cdot - 3$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica

- 2

$- 2$ por

- 3

$- 3$ .

180 + 6

$180 + 6$

180 + 6

$180 + 6$

Paso 2.2.2.2

Suma

180

$180$ y

6

$6$ .

186

$186$

186

$186$

186

$186$

Paso 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{186} [\begin{matrix} 15 & 3 - 2 & 12 \end{matrix}]

$\frac{1}{186} [\begin{array}{c} 15 & 3 \\ - 2 & 12 \end{array}]$

Paso 2.5

Multiplica

\frac{1}{186}

$\frac{1}{186}$ por cada elemento de la matriz.

[\begin{matrix} \frac{1}{186} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{186} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común de

3

$3$ .

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Paso 2.6.1.1

Factoriza

3

$3$ de

186

$186$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{3 (62)} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 (62)} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.1.2

Factoriza

3

$3$ de

15

$15$ .

[\begin{matrix} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.1.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.1.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{62} \cdot 5 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.2

Combina

$\frac{1}{62}$ y

$5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.3

Cancela el factor común de

$3$ .

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Paso 2.6.3.1

Factoriza

$3$ de

$186$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{3 (62)} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.3.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.3.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 2.6.4.1

Factoriza

$2$ de

$186$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 (93)} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.4.2

Factoriza

$2$ de

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 \cdot 93} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.4.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 \cdot 93} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.4.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{93} \cdot - 1 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.5

Combina

$\frac{1}{93}$ y

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{- 1}{93} & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.7

Cancela el factor común de

$6$ .

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Paso 2.6.7.1

Factoriza

$6$ de

$186$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 (31)} \cdot 12 \end{array}]$

Paso 2.6.7.2

Factoriza

$6$ de

$12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 \cdot 31} \cdot (6 \cdot 2) \end{array}]$

Paso 2.6.7.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 \cdot 31} \cdot (6 \cdot 2) \end{array}]$

Paso 2.6.7.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{31} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 2.6.8

Combina

$\frac{1}{31}$ y

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}]$

Paso 3

Multiplica por la izquierda ambos lados de la ecuación de matriz por la matriz inversa.

$([\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 12 & - 3 \\ 2 & 15 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Paso 4

Cualquier matriz multiplicada por su inversa es igual a

$1$ todo el tiempo.

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Paso 5

Multiplica

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$ .

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Paso 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Paso 5.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} \cdot - 6 + \frac{1}{62} \cdot 30 \\ - \frac{1}{93} \cdot - 6 + \frac{2}{31} \cdot 30 \end{array}]$

Paso 5.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica los lados izquierdo y derecho.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array}]$

Paso 7

Obtén la solución.

$x = 0$

$y = 2$