Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

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Paso 1.4.3.1

Suma $- 2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.3

Suma $- 10$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.4

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.5

Suma $- 5$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.6

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - λ & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

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Paso 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2

Evalúa $| \begin{array}{c} - 10 - λ & 4 \\ - 1 & - 6 - λ \end{array} |$ .

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Paso 1.5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((- 10 - λ) (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.2.1.1

Expande $(- 10 - λ) (- 6 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 (- 6 - λ) - λ (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - λ (- 6 - λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.2.1.2.1.1

Multiplica $- 10$ por $- 6$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 - 10 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 10 λ + 6 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.2

Suma $10 λ$ y $6 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 4)) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.3

Multiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Paso 1.5.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} - - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (60 + 16 λ + λ^{2} + 4) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.2

Suma $60$ y $4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (16 λ + λ^{2} + 64) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.3

Reordena $16 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 | \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} - 10 & 4 \\ - 5 & - 6 - λ \end{array} |$ .

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Paso 1.5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (- 10 (- 6 - λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (- 10 \cdot - 6 - 10 (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3.2.1.2

Multiplica $- 10$ por $- 6$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 - 10 (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ - (- 5 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3.2.1.4

Multiplica $- (- 5 \cdot 4)$ .

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Paso 1.5.3.2.1.4.1

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ - - 20) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3.2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 20$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (60 + 10 λ + 20) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3.2.2

Suma $60$ y $20$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 | \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} - 10 & - 10 - λ \\ - 5 & - 1 \end{array} |$ .

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Paso 1.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 10 \cdot - 1 - (- 5 (- 10 - λ)))$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (- 5 (- 10 - λ)))$

Paso 1.5.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (- 5 \cdot - 10 - 5 (- λ)))$

Paso 1.5.4.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 10$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (50 - 5 (- λ)))$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - (50 + 5 λ))$

Paso 1.5.4.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 1 \cdot 50 - (5 λ))$

Paso 1.5.4.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $50$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 50 - (5 λ))$

Paso 1.5.4.2.1.7

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (10 - 50 - 5 λ)$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $50$ de $10$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 40 - 5 λ)$

Paso 1.5.4.2.3

Reordena $- 40$ y $- 5 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64) + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.1.1

Expande $(3 - λ) (λ^{2} + 16 λ + 64)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (16 λ) + 3 \cdot 64 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.1.2.1

Multiplica $16$ por $3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 3 \cdot 64 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.2.2

Multiplica $3$ por $64$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.2.3

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.1.2.3.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - (λ^{2} λ) - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.2.3.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 1.5.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{2 + 1} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.2.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - λ (16 λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 λ \cdot λ - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.2.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.1.2.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 (λ \cdot λ) - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.2.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 1 \cdot 16 λ^{2} - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 16 λ^{2} - λ \cdot 64 + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.2.7

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 16 λ^{2} - 64 λ + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.3

Resta $16 λ^{2}$ de $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 48 λ + 192 - λ^{3} - 64 λ + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.4

Resta $64 λ$ de $48 λ$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 2 (10 λ + 80) + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 2 (10 λ) + 2 \cdot 80 + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.6

Multiplica $10$ por $2$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 2 \cdot 80 + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.7

Multiplica $2$ por $80$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 + 4 (- 5 λ - 40)$

Paso 1.5.5.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 + 4 (- 5 λ) + 4 \cdot - 40$

Paso 1.5.5.1.9

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ + 4 \cdot - 40$

Paso 1.5.5.1.10

Multiplica $4$ por $- 40$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ - 160$

Paso 1.5.5.2

Combina los términos opuestos en $- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 20 λ + 160 - 20 λ - 160$ .

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Paso 1.5.5.2.1

Resta $20 λ$ de $20 λ$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 0 + 160 - 160$

Paso 1.5.5.2.2

Suma $- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$ y $0$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 160 - 160$

Paso 1.5.5.2.3

Resta $160$ de $160$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3} + 0$

Paso 1.5.5.2.4

Suma $- 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$ y $0$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 - λ^{3}$

Paso 1.5.5.3

Mueve $192$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 16 λ - λ^{3} + 192$

Paso 1.5.5.4

Mueve $- 16 λ$ .

$p (λ) = - 13 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 192$

Paso 1.5.5.5

Reordena $- 13 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192 = 0$

Paso 1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.7.1.1

Factoriza $- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.7.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

$q = \pm 1$

Paso 1.7.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 192, \pm 2, \pm 96, \pm 3, \pm 64, \pm 4, \pm 48, \pm 6, \pm 32, \pm 8, \pm 24, \pm 12, \pm 16$

Paso 1.7.1.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.7.1.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$- 3^{3} - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

Paso 1.7.1.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 27 - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

Paso 1.7.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$- 27 - 13 \cdot 3^{2} - 16 \cdot 3 + 192$

Paso 1.7.1.1.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- 27 - 13 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 192$

Paso 1.7.1.1.3.5

Multiplica $- 13$ por $9$ .

$- 27 - 117 - 16 \cdot 3 + 192$

Paso 1.7.1.1.3.6

Resta $117$ de $- 27$ .

$- 144 - 16 \cdot 3 + 192$

Paso 1.7.1.1.3.7

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$- 144 - 48 + 192$

Paso 1.7.1.1.3.8

Resta $48$ de $- 144$ .

$- 192 + 192$

Paso 1.7.1.1.3.9

Suma $- 192$ y $192$ .

$0$

Paso 1.7.1.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $λ - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192}{λ - 3}$

Paso 1.7.1.1.5

Divide $- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ por $λ - 3$ .

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Paso 1.7.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$16 λ$

$192$

Paso 1.7.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- λ^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$

Paso 1.7.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Paso 1.7.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- λ^{3} + 3 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Paso 1.7.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$

Paso 1.7.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$

Paso 1.7.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 16 λ^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$

Paso 1.7.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$16 λ^{2}$	+	$48 λ$

Paso 1.7.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 16 λ^{2} + 48 λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$

Paso 1.7.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$

Paso 1.7.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$

Paso 1.7.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 64 λ$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$

Paso 1.7.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							-	$64 λ$	+	$192$

Paso 1.7.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 64 λ + 192$ .

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							+	$64 λ$	-	$192$

Paso 1.7.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$	-	$16 λ$	-	$64$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$192$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					-	$16 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$16 λ^{2}$	-	$48 λ$
							-	$64 λ$	+	$192$
							+	$64 λ$	-	$192$
										$0$

Paso 1.7.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- λ^{2} - 16 λ - 64$

Paso 1.7.1.1.6

Escribe $- λ^{3} - 13 λ^{2} - 16 λ + 192$ como un conjunto de factores.

$(λ - 3) (- λ^{2} - 16 λ - 64) = 0$

Paso 1.7.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.7.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.7.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 64 = 64$ y cuya suma es $b = - 16$ .

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Paso 1.7.1.2.1.1.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 λ$ .

$(λ - 3) (- λ^{2} - 16 λ - 64) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.1.2

Reescribe $- 16$ como $- 8$ más $- 8$

$(λ - 3) (- λ^{2} + (- 8 - 8) λ - 64) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(λ - 3) (- λ^{2} - 8 λ - 8 λ - 64) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.7.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(λ - 3) ((- λ^{2} - 8 λ) - 8 λ - 64) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(λ - 3) (λ (- λ - 8) + 8 (- λ - 8)) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- λ - 8$ .

$(λ - 3) ((- λ - 8) (λ + 8)) = 0$

Paso 1.7.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(λ - 3) (- λ - 8) (λ + 8) = 0$

Paso 1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ - 3 = 0$

$- λ - 8 = 0$

$λ + 8 = 0$

Paso 1.7.3

Establece $λ - 3$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.3.1

Establece $λ - 3$ igual a $0$ .

$λ - 3 = 0$

Paso 1.7.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 3$

Paso 1.7.4

Establece $- λ - 8$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.4.1

Establece $- λ - 8$ igual a $0$ .

$- λ - 8 = 0$

Paso 1.7.4.2

Resuelve $- λ - 8 = 0$ en $λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.4.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$- λ = 8$

Paso 1.7.4.2.2

Divide cada término en $- λ = 8$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.4.2.2.1

Divide cada término en $- λ = 8$ por $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{8}{- 1}$

Paso 1.7.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{8}{- 1}$

Paso 1.7.4.2.2.2.2

Divide $λ$ por $1$ .

$λ = \frac{8}{- 1}$

Paso 1.7.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.4.2.2.3.1

Divide $8$ por $- 1$ .

$λ = - 8$

Paso 1.7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(λ - 3) (- λ - 8) (λ + 8) = 0$ verdadera.

$λ = 3, - 8$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Multiplica $- 3$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.5

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.6

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.7

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.8

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.9

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 3 - 3 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3

Simplify each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Resta $3$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3.3

Suma $4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3.4

Suma $- 10$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 - 3 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3.5

Resta $3$ de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3.6

Suma $4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3.7

Suma $- 5$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3.8

Suma $- 1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3.9

Resta $3$ de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 13 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 9 \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

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Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 10 & - 13 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 10 & - 13 & 4 & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{10}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 & - \frac{1}{10} \cdot 4 & - \frac{1}{10} \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 9 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (\frac{13}{10}) & - 9 + 5 (- \frac{2}{5}) & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - 2 & 4 & 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & \frac{11}{2} & - 11 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{11}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 - \frac{11}{2} \cdot 0 & \frac{11}{2} - \frac{11}{2} \cdot 1 & - 11 - \frac{11}{2} \cdot - 2 & 0 - \frac{11}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{10} & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{10} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{10} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{13}{10} \cdot 0 & \frac{13}{10} - \frac{13}{10} \cdot 1 & - \frac{2}{5} - \frac{13}{10} \cdot - 2 & 0 - \frac{13}{10} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.6.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{11}{5} z = 0$

$y - 2 z = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{11 z}{5} \\ 2 z \\ z \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Multiplica $8$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica $8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4

Multiplica $8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 1 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 8 \cdot 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.6

Multiplica $8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 8 \cdot 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.7

Multiplica $8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 8 \cdot 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.8

Multiplica $8$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.9

Multiplica $8$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

Paso 4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 3 + 8 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Paso 4.2.3

Simplify each element.

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Paso 4.2.3.1

Suma $3$ y $8$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 + 0 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Paso 4.2.3.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 + 0 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Paso 4.2.3.3

Suma $4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 + 0 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Paso 4.2.3.4

Suma $- 10$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 10 + 8 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Paso 4.2.3.5

Suma $- 10$ y $8$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Paso 4.2.3.6

Suma $4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Paso 4.2.3.7

Suma $- 5$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 6 + 8 \end{array}]$

Paso 4.2.3.8

Suma $- 1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 & - 6 + 8 \end{array}]$

Paso 4.2.3.9

Suma $- 6$ y $8$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 \\ - 10 & - 2 & 4 \\ - 5 & - 1 & 2 \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when $λ = - 8$ .

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Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & - 2 & 4 & 0 \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{11}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{11}{11} & \frac{- 2}{11} & \frac{4}{11} & \frac{0}{11} \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - 10 & - 2 & 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - 10 + 10 \cdot 1 & - 2 + 10 (- \frac{2}{11}) & 4 + 10 (\frac{4}{11}) & 0 + 10 \cdot 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ - 5 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (- \frac{2}{11}) & 2 + 5 (\frac{4}{11}) & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{42}{11} & \frac{84}{11} & 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{42}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{42}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ - \frac{11}{42} \cdot 0 & - \frac{11}{42} (- \frac{42}{11}) & - \frac{11}{42} \cdot \frac{84}{11} & - \frac{11}{42} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & - \frac{21}{11} & \frac{42}{11} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{21}{11} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{21}{11} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 + \frac{21}{11} \cdot 0 & - \frac{21}{11} + \frac{21}{11} \cdot 1 & \frac{42}{11} + \frac{21}{11} \cdot - 2 & 0 + \frac{21}{11} \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{11} & \frac{4}{11} & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{11} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{11} \cdot 0 & - \frac{2}{11} + \frac{2}{11} \cdot 1 & \frac{4}{11} + \frac{2}{11} \cdot - 2 & 0 + \frac{2}{11} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.6.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y - 2 z = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 z \\ z \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{11}{5} \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}]}$