Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $2$ es la matriz cuadrada $2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

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Paso 1.4.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 2 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

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Paso 1.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.1

Expande $(1 - λ) (4 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.2.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.2.1.2

Multiplica $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.2.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.2.2

Resta $4 λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.5.2.1.3

Multiplica $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Paso 1.5.2.1.3.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - - 2$

Paso 1.5.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} + 2$

Paso 1.5.2.2

Suma $4$ y $2$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} + 6$

Paso 1.5.2.3

Reordena $- 5 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ + 6 = 0$

Paso 1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.7.1

Factoriza $λ^{2} - 5 λ + 6$ con el método AC.

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Paso 1.7.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 1.7.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$

Paso 1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ - 3 = 0$

$λ - 2 = 0$

Paso 1.7.3

Establece $λ - 3$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.3.1

Establece $λ - 3$ igual a $0$ .

$λ - 3 = 0$

Paso 1.7.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 3$

Paso 1.7.4

Establece $λ - 2$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.4.1

Establece $λ - 2$ igual a $0$ .

$λ - 2 = 0$

Paso 1.7.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 2$

Paso 1.7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(λ - 3) (λ - 2) = 0$ verdadera.

$λ = 3, 2$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

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Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $- 3$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - 3 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3

Simplify each element.

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Paso 3.2.3.1

Resta $3$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3.3

Suma $- 2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 & 4 - 3 \end{array}]$

Paso 3.2.3.4

Resta $3$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

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Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{2}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} y = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} \\ y \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3

Simplify each element.

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Paso 4.2.3.1

Resta $2$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.3

Suma $- 2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 4 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.4

Resta $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$