Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

$2$ es la matriz cuadrada

$2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$ por

$A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 1.3.2

Sustituye

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

$I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Multiplica

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica

$- λ \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Suma

$1$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma

$1$ y

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

El determinante de una matriz

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.1

Expande

$(1 - λ) (1 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1.2.1.1

Multiplica

$1$ por

$1$ .

$p (λ) = 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.2.1.2

Multiplica

$- λ$ por

$1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.2.1.3

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.2.1.5

Multiplica

$λ$ por

$λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.2.1.2.1.5.1

Mueve

$λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplica

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.2.1.6

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.2.1.7

Multiplica

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.2.2

Resta

$λ$ de

$- λ$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.2.1.3

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} - 1$

Paso 1.5.2.2

Combina los términos opuestos en

$1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.2.1

Resta

$1$ de

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} + 0$

Paso 1.5.2.2.2

Suma

$- 2 λ + λ^{2}$ y

$0$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2}$

Paso 1.5.2.3

Reordena

$- 2 λ$ y

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a

$0$ para obtener los valores propios

$λ$ .

$λ^{2} - 2 λ = 0$

Paso 1.7

Resuelve

$λ$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Factoriza

$λ$ de

$λ^{2} - 2 λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1.1

Factoriza

$λ$ de

$λ^{2}$ .

$λ \cdot λ - 2 λ = 0$

Paso 1.7.1.2

Factoriza

$λ$ de

$- 2 λ$ .

$λ \cdot λ + λ \cdot - 2 = 0$

Paso 1.7.1.3

Factoriza

$λ$ de

$λ \cdot λ + λ \cdot - 2$ .

$λ (λ - 2) = 0$

Paso 1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

$0$ , la expresión completa será igual a

$0$ .

$λ = 0$

$λ - 2 = 0$

Paso 1.7.3

Establece

$λ$ igual a

$0$ .

$λ = 0$

Paso 1.7.4

Establece

$λ - 2$ igual a

$0$ y resuelve

$λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.4.1

Establece

$λ - 2$ igual a

$0$ .

$λ - 2 = 0$

Paso 1.7.4.2

Suma

$2$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 2$

Paso 1.7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen

$λ (λ - 2) = 0$ verdadera.

$λ = 0, 2$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 0$ .

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Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Multiplica

$0$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.1

Multiplica

$0$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica

$0$ por

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica

$0$ por

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica

$0$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2

Simplify each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.1

Suma

$1$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.2

Suma

$1$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.3

Suma

$1$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.4

Suma

$1$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when

$λ = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Multiplica

$- 2$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.2.1

Multiplica

$- 2$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica

$- 2$ por

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica

$- 2$ por

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4

Multiplica

$- 2$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3

Simplify each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Resta

$2$ de

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.2

Suma

$1$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.3

Suma

$1$ y

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 4.2.3.4

Resta

$2$ de

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when

$λ = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$