Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $4$ es la matriz cuadrada $4 \times 4$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] - λ I_{4})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{4}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.9.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.10.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.10.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.12

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.12.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.12.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.13

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.13.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.13.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.14

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.14.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.14.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.15

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.15.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.15.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.16

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.7

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.8

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.9

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.10

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.11

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.12

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) ((4 - λ) (4 - λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.2.1.1

Expande $(4 - λ) (4 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (4 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ (4 - λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.2.1.2.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + λ^{2} - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2.2

Resta $4 λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 16) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.2

Combina los términos opuestos en $16 - 8 λ + λ^{2} - 16$ .

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Paso 5.2.2.2.2.1

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (- 8 λ + λ^{2} + 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.2.2

Suma $- 8 λ + λ^{2}$ y $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (- 8 λ + λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.3

Reordena $- 8 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (4 (4 - λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (16 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (16 - 4 λ - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (16 - 4 λ - 16) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.2

Combina los términos opuestos en $16 - 4 λ - 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.2.1

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ + 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.2.2

Suma $- 4 λ$ y $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 \cdot 4 - 4 (4 - λ))) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (16 - 4 (4 - λ))) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (16 - 4 \cdot 4 - 4 (- λ))) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.4.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (16 - 16 - 4 (- λ))) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (16 - 16 + 4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.4.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (0 + 4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.4.2.3

Suma $0$ y $4 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.5.1.1

Expande $(4 - λ) (λ^{2} - 8 λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (4 (λ^{2} - 8 λ) - λ (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} + 4 (- 8 λ) - λ (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} + 4 (- 8 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.5.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.5.1.2.1.1

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.2.1.2

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.5.1.2.1.2.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.2.1.2.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.2.5.1.2.1.2.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.2.1.4

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.5.1.2.1.4.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.2.1.4.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} + 8 λ^{2} - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.2.2

Suma $4 λ^{2}$ y $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} + 16 λ + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.1.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} + 16 λ + 16 λ) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.2

Suma $- 32 λ$ y $16 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 16 λ) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.3

Combina los términos opuestos en $12 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 16 λ$ .

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Paso 5.2.5.3.1

Suma $- 16 λ$ y $16 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - λ^{3} + 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.3.2

Suma $12 λ^{2} - λ^{3}$ y $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - λ^{3}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.2.5.4

Reordena $12 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Paso 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.3.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.3.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.3.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.3.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.3.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.3.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (4 (4 - λ) - 4 \cdot 4) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (16 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (16 - 4 λ - 4 \cdot 4) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.2.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (16 - 4 λ - 16) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.2.2.2

Combina los términos opuestos en $16 - 4 λ - 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.2.1

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ + 0) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.2.2.2.2

Suma $- 4 λ$ y $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (4 (4 - λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (16 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (16 - 4 λ - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.3.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (16 - 4 λ - 16) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.3.2.2

Combina los términos opuestos en $16 - 4 λ - 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ + 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.3.2.2.2

Suma $- 4 λ$ y $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 (4 \cdot 4 - 4 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.2.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 (16 - 4 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.4.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 (16 - 16)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.4.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1.1

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ + 4 (- 4 λ) - λ (- 4 λ) - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.5.1.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ - λ (- 4 λ) - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.5.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.5.1.5.1

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.5.1.5.1.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.5.1.5.1.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ - 1 \cdot - 4 λ^{2} - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.5.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.5.1.6

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} + 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.5.2

Combina los términos opuestos en $16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} + 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.1

Suma $16 λ - 16 λ + 4 λ^{2}$ y $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2}) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.5.2.2

Resta $16 λ$ de $16 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (0 + 4 λ^{2}) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.3.5.3

Suma $0$ y $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Paso 5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.4.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (4 (4 - λ) - 4 \cdot 4) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (16 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (16 - 4 λ - 4 \cdot 4) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.2.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (16 - 4 λ - 16) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.2.2.2

Combina los términos opuestos en $16 - 4 λ - 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.2.1

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ + 0) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.2.2.2.2

Suma $- 4 λ$ y $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (4 (4 - λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.3.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (16 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (16 - 4 λ - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.3.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (16 - 4 λ - 16) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.3.2.2

Combina los términos opuestos en $16 - 4 λ - 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.2.1

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ + 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.3.2.2.2

Suma $- 4 λ$ y $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 (4 \cdot 4 - 4 \cdot 4)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 (16 - 4 \cdot 4)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.4.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 (16 - 16)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.4.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.5.1.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + (- 1 \cdot 4 - - λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + (- 4 - - λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.1.4

Multiplica $- - λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + (- 4 + 1 λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.1.4.2

Multiplica $λ$ por $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + (- 4 + λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ - 4 (- 4 λ) + λ (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ + λ (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ - 4 λ \cdot λ + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.1.8

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.5.1.8.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ - 4 (λ \cdot λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.1.8.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ - 4 λ^{2} + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.1.9

Multiplica $4$ por $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ - 4 λ^{2} + 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.2

Combina los términos opuestos en $- 16 λ + 16 λ - 4 λ^{2} + 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.5.2.1

Suma $- 16 λ + 16 λ - 4 λ^{2}$ y $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ - 4 λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.2.2

Suma $- 16 λ$ y $16 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (0 - 4 λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.4.5.3

Resta $4 λ^{2}$ de $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$ .

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Paso 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Paso 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 \cdot 4 - 4 (4 - λ)) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (16 - 4 (4 - λ)) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (16 - 4 \cdot 4 - 4 (- λ)) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.2.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (16 - 16 - 4 (- λ)) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (16 - 16 + 4 λ) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.2.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (0 + 4 λ) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.2.2.3

Suma $0$ y $4 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 \cdot 4 - 4 (4 - λ)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.2.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (16 - 4 (4 - λ)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (16 - 4 \cdot 4 - 4 (- λ)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (16 - 16 - 4 (- λ)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (16 - 16 + 4 λ) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (0 + 4 λ) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.3.2.3

Suma $0$ y $4 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 λ) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Paso 5.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 λ) + 4 (4 \cdot 4 - 4 \cdot 4))$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.4.2.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 λ) + 4 (16 - 4 \cdot 4))$

Paso 5.5.4.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 λ) + 4 (16 - 16))$

Paso 5.5.4.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Paso 5.5.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.5.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - (4 - λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Paso 5.5.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ + (- 1 \cdot 4 - - λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Paso 5.5.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ + (- 4 - - λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Paso 5.5.5.1.4

Multiplica $- - λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.5.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ + (- 4 + 1 λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Paso 5.5.5.1.4.2

Multiplica $λ$ por $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ + (- 4 + λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Paso 5.5.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 4 (4 λ) + λ (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Paso 5.5.5.1.6

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + λ (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Paso 5.5.5.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ \cdot λ + 4 \cdot 0)$

Paso 5.5.5.1.8

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.5.1.8.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 (λ \cdot λ) + 4 \cdot 0)$

Paso 5.5.5.1.8.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} + 4 \cdot 0)$

Paso 5.5.5.1.9

Multiplica $4$ por $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} + 0)$

Paso 5.5.5.2

Combina los términos opuestos en $16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} + 0$ .

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Paso 5.5.5.2.1

Suma $16 λ - 16 λ + 4 λ^{2}$ y $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2})$

Paso 5.5.5.2.2

Resta $16 λ$ de $16 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (0 + 4 λ^{2})$

Paso 5.5.5.3

Suma $0$ y $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6

Simplifica el determinante.

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Paso 5.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1.1

Expande $(4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.6.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - λ (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 (- λ^{3}) + 4 (12 λ^{2}) - λ (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 (- λ^{3}) + 4 (12 λ^{2}) - λ (- λ^{3}) - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.6.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 (12 λ^{2}) - λ (- λ^{3}) - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.2

Multiplica $12$ por $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.4

Multiplica $λ$ por $λ^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.1.2.1.4.1

Mueve $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.4.2

Multiplica $λ^{3}$ por $λ$ .

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Paso 5.6.1.2.1.4.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.4.3

Suma $3$ y $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + 1 λ^{4} - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.6

Multiplica $λ^{4}$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 12 λ \cdot λ^{2} - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.8

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.1.2.1.8.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 12 (λ^{2} λ) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.8.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1.2.1.8.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 12 (λ^{2} λ^{1}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 12 λ^{2 + 1} - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.8.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 12 λ^{3} - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 12 λ^{3} - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.2.2

Resta $12 λ^{3}$ de $- 4 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.3

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 16 λ^{2} + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 16 λ^{2} - 16 λ^{2} - 4 (4 λ^{2})$

Paso 5.6.1.5

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 16 λ^{2} - 16 λ^{2} - 16 λ^{2}$

Paso 5.6.2

Resta $16 λ^{2}$ de $48 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + λ^{4} + 32 λ^{2} - 16 λ^{2} - 16 λ^{2}$

Paso 5.6.3

Resta $16 λ^{2}$ de $32 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + λ^{4} + 16 λ^{2} - 16 λ^{2}$

Paso 5.6.4

Combina los términos opuestos en $- 16 λ^{3} + λ^{4} + 16 λ^{2} - 16 λ^{2}$ .

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Paso 5.6.4.1

Resta $16 λ^{2}$ de $16 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + λ^{4} + 0$

Paso 5.6.4.2

Suma $- 16 λ^{3} + λ^{4}$ y $0$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + λ^{4}$

Paso 5.6.5

Reordena $- 16 λ^{3}$ y $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 16 λ^{3}$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{4} - 16 λ^{3} = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Factoriza $λ^{3}$ de $λ^{4} - 16 λ^{3}$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $λ^{3}$ de $λ^{4}$ .

$λ^{3} λ - 16 λ^{3} = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $λ^{3}$ de $- 16 λ^{3}$ .

$λ^{3} λ + λ^{3} \cdot - 16 = 0$

Paso 7.1.3

Factoriza $λ^{3}$ de $λ^{3} λ + λ^{3} \cdot - 16$ .

$λ^{3} (λ - 16) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ^{3} = 0$

$λ - 16 = 0$

Paso 7.3

Establece $λ^{3}$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 7.3.1

Establece $λ^{3}$ igual a $0$ .

$λ^{3} = 0$

Paso 7.3.2

Resuelve $λ^{3} = 0$ en $λ$ .

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Paso 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \sqrt[3]{0}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$λ = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 7.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$λ = 0$

Paso 7.4

Establece $λ - 16$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 7.4.1

Establece $λ - 16$ igual a $0$ .

$λ - 16 = 0$

Paso 7.4.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 16$

Paso 7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $λ^{3} (λ - 16) = 0$ verdadera.

$λ = 0, 16$