Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $2$ es la matriz cuadrada $2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Resta $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (\sqrt{2} - λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.3.1.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.3.1.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.3.3

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - - 1$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1$

Paso 5.2.2

Reordena $- λ \sqrt{2}$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1 = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - \sqrt{2}$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $λ$ .

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.4.5

Evalúa el exponente.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 7.3.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.5.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.6

Resta $4$ de $2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.7

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.8

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.1.9

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$