Álgebra lineal Ejemplos

[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño

2

$2$ es la matriz cuadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye

[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 3.2

Sustituye

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Multiplica

- λ

$- λ$ por cada elemento de la matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.3.1

Multiplica

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Suma

3

$3$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma

2

$2$ y

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Paso 5.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Expande

(1 - λ) (- 1 - λ)

$(1 - λ) (- 1 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.2.1.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.2.1.2

Multiplica

- λ

$- λ$ por

1

$1$ .

p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.2.1.3

Multiplica

- λ \cdot - 1

$- λ \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.2.1.3.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.2.1.3.2

Multiplica

λ

$λ$ por

1

$1$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.2.1.5

Multiplica

λ

$λ$ por

λ

$λ$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.2.1.5.1

Mueve

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.2.1.5.2

Multiplica

λ

$λ$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.2.1.6

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.2.1.7

Multiplica

λ^{2}

$λ^{2}$ por

1

$1$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.2.2

Suma

- λ

$- λ$ y

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.2.3

Suma

- 1

$- 1$ y

0

$0$ .

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Paso 5.2.1.3

Multiplica

- 2

$- 2$ por

3

$3$ .

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6$

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6$

Paso 5.2.2

Resta

6

$6$ de

- 1

$- 1$ .

p (λ) = λ^{2} - 7

$p (λ) = λ^{2} - 7$

p (λ) = λ^{2} - 7

$p (λ) = λ^{2} - 7$

p (λ) = λ^{2} - 7

$p (λ) = λ^{2} - 7$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a

0

$0$ para obtener los valores propios

λ

$λ$ .

λ^{2} - 7 = 0

$λ^{2} - 7 = 0$

Paso 7

Resuelve

λ

$λ$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Suma

7

$7$ a ambos lados de la ecuación.

λ^{2} = 7

$λ^{2} = 7$

Paso 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

λ = \pm \sqrt{7}

$λ = \pm \sqrt{7}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Primero, usa el valor positivo de

\pm

$\pm$ para obtener la primera solución.

λ = \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}$

Paso 7.3.2

Luego, usa el valor negativo de

\pm

$\pm$ para obtener la segunda solución.

λ = - \sqrt{7}

$λ = - \sqrt{7}$

Paso 7.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Forma decimal:

λ = 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots

$λ = 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$