Álgebra lineal Ejemplos

Hallar los vectores propios/el espacio propio [[5,0],[1,5]]
Paso 1
Obtén los valores propios.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Establece la fórmula para obtener la ecuación característica .
Paso 1.2
La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño es la matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
Paso 1.3
Sustituye los valores conocidos en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Sustituye por .
Paso 1.3.2
Sustituye por .
Paso 1.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 1.4.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.4
Multiplica por .
Paso 1.4.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 1.4.3
Simplify each element.
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Paso 1.4.3.1
Suma y .
Paso 1.4.3.2
Suma y .
Paso 1.5
Find the determinant.
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Paso 1.5.1
El determinante de una matriz puede obtenerse usando la fórmula .
Paso 1.5.2
Simplifica el determinante.
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Paso 1.5.2.1
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
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Paso 1.5.2.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.1.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.2
Simplifica y combina los términos similares.
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Paso 1.5.2.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.1.2
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.1.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.5.2.2.1.5
Multiplica por sumando los exponentes.
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Paso 1.5.2.2.1.5.1
Mueve .
Paso 1.5.2.2.1.5.2
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.1.6
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.1.7
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2.2
Resta de .
Paso 1.5.2.3
Resta de .
Paso 1.5.2.4
Mueve .
Paso 1.5.2.5
Reordena y .
Paso 1.6
Establece el polinomio característico igual a para obtener los valores propios .
Paso 1.7
Resuelve
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Paso 1.7.1
Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.
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Paso 1.7.1.1
Reescribe como .
Paso 1.7.1.2
Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.
Paso 1.7.1.3
Reescribe el polinomio.
Paso 1.7.1.4
Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto , donde y .
Paso 1.7.2
Establece igual a .
Paso 1.7.3
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Paso 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
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Paso 3.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 3.2
Simplifica.
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Paso 3.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 3.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
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Paso 3.2.1.2.1
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.2
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.3
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.4
Multiplica por .
Paso 3.2.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 3.2.3
Simplify each element.
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Paso 3.2.3.1
Resta de .
Paso 3.2.3.2
Suma y .
Paso 3.2.3.3
Suma y .
Paso 3.2.3.4
Resta de .
Paso 3.3
Find the null space when .
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Paso 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Paso 3.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
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Paso 3.3.2.1
Swap with to put a nonzero entry at .
Paso 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Paso 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Paso 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Paso 3.3.6
Write as a solution set.
Paso 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Paso 4
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.