Álgebra lineal Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + i 1 - i 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + i \\ 1 - i \\ 1 \end{array}]$

Paso 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

\sqrt{{| 1 + i |}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{| 1 + i |}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Usa la fórmula

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

\sqrt{{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

\sqrt{{\sqrt{1 + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{1 + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

\sqrt{{\sqrt{1 + 1}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{1 + 1}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.4

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.5

Reescribe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ como

2

$2$ .

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Paso 2.5.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ como

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.5.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.5.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 2.5.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2^{1} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.5.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{2 + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.6

Usa la fórmula

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{2 + {\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{2 + {\sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.8

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$\sqrt{2 + {\sqrt{1 + 1}}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.9

Suma

$1$ y

$1$ .

$\sqrt{2 + {\sqrt{2}}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.10

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

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Paso 2.10.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1^{2}}$

Paso 2.10.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

Paso 2.10.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 2.10.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

Paso 2.10.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2 + 2^{1} + 1^{2}}$

Paso 2.10.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{2 + 2 + 1^{2}}$

Paso 2.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{2 + 2 + 1}$

Paso 2.12

Suma

$2$ y

$2$ .

$\sqrt{4 + 1}$

Paso 2.13

Suma

$4$ y

$1$ .

$\sqrt{5}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{5}$

Forma decimal:

$2.23606797 \dots$