Álgebra lineal Ejemplos

\sqrt{5} + i \sqrt{5}

$\sqrt{5} + i \sqrt{5}$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde

| z |

$| z |$ es el módulo y

θ

$θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde

z = a + b i

$z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de

a = \sqrt{5}

$a = \sqrt{5}$ y

b = \sqrt{5}

$b = \sqrt{5}$ .

| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 4

Obtén

| z |

$| z |$ .

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Paso 4.1

Reescribe

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ como

5

$5$ .

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Paso 4.1.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ como

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 4.1.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 4.1.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe

${\sqrt{5}}^{2}$ como

$5$ .

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Paso 4.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{5}$ como

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Paso 4.3

Suma

$5$ y

$5$ .

$| z | = \sqrt{10}$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 6

Como la tangente inversa de

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es

$\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 7

Sustituye los valores de

$θ = \frac{π}{4}$ y

$| z | = \sqrt{10}$ .

$\sqrt{10} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$