Álgebra lineal Ejemplos

\sqrt{2} + \sqrt{2} i

$\sqrt{2} + \sqrt{2} i$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde

| z |

$| z |$ es el módulo y

θ

$θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde

z = a + b i

$z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de

a = \sqrt{2}

$a = \sqrt{2}$ y

b = \sqrt{2}

$b = \sqrt{2}$ .

| z | = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4

Obtén

| z |

$| z |$ .

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Paso 4.1

Reescribe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ como

2

$2$ .

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Paso 4.1.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ como

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.1.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe la expresión.

| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.1.5

Evalúa el exponente.

| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ como

2

$2$ .

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Paso 4.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ como

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$| z | = \sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

| z | = \sqrt{2 + 2}

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

| z | = \sqrt{2 + 2}

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

| z | = \sqrt{2 + 2}

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

| z | = \sqrt{2 + 2}

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Suma

2

$2$ y

2

$2$ .

| z | = \sqrt{4}

$| z | = \sqrt{4}$

Paso 4.3.2

Reescribe

4

$4$ como

2^{2}

$2^{2}$ .

| z | = \sqrt{2^{2}}

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

| z | = \sqrt{2^{2}}

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

| z | = 2

$| z | = 2$

| z | = 2

$| z | = 2$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

θ = \arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 6

Como la tangente inversa de

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

θ = \frac{π}{4}

$θ = \frac{π}{4}$

Paso 7

Sustituye los valores de

θ = \frac{π}{4}

$θ = \frac{π}{4}$ y

| z | = 2

$| z | = 2$ .

2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))

$2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$