Álgebra lineal Ejemplos

$(8 - 7 i) (6 + 7 i)$

Paso 1

Expande $(8 - 7 i) (6 + 7 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (6 + 7 i) - 7 i (6 + 7 i)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \cdot 6 + 8 (7 i) - 7 i (6 + 7 i)$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \cdot 6 + 8 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $8$ por $6$ .

$48 + 8 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Paso 2.1.2

Multiplica $7$ por $8$ .

$48 + 56 i - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Paso 2.1.3

Multiplica $6$ por $- 7$ .

$48 + 56 i - 42 i - 7 i (7 i)$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 7 i (7 i)$ .

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Paso 2.1.4.1

Multiplica $7$ por $- 7$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 i i$

Paso 2.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 (i^{1} i)$

Paso 2.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 (i^{1} i^{1})$

Paso 2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$48 + 56 i - 42 i - 49 i^{1 + 1}$

Paso 2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 i^{2}$

Paso 2.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 \cdot - 1$

Paso 2.1.6

Multiplica $- 49$ por $- 1$ .

$48 + 56 i - 42 i + 49$

Paso 2.2

Suma $48$ y $49$ .

$97 + 56 i - 42 i$

Paso 2.3

Resta $42 i$ de $56 i$ .

$97 + 14 i$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = 97$ y $b = 14$ .

$| z | = \sqrt{14^{2} + 97^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{196 + 97^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $97$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{196 + 9409}$

Paso 6.3

Suma $196$ y $9409$ .

$| z | = \sqrt{9605}$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{14}{97})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{14}{97}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es $0.14334005$ .

$θ = 0.14334005$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = 0.14334005$ y $| z | = \sqrt{9605}$ .

$\sqrt{9605} (\cos (0.14334005) + i \sin (0.14334005))$