Álgebra lineal Ejemplos

$(5 i) (2 + 6 i)$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 i \cdot 2 + 5 i (6 i)$

Paso 2

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 i + 5 i (6 i)$

Paso 3

Multiplica $5 i (6 i)$ .

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Paso 3.1

Multiplica $6$ por $5$ .

$10 i + 30 i i$

Paso 3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$10 i + 30 (i^{1} i)$

Paso 3.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$10 i + 30 (i^{1} i^{1})$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 i + 30 i^{1 + 1}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$10 i + 30 i^{2}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$10 i + 30 \cdot - 1$

Paso 4.2

Multiplica $30$ por $- 1$ .

$10 i - 30$

Paso 5

Reordena $10 i$ y $- 30$ .

$- 30 + 10 i$

Paso 6

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 7

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 8

Sustituye los valores reales de $a = - 30$ y $b = 10$ .

$| z | = \sqrt{10^{2} + {(- 30)}^{2}}$

Paso 9

Obtén $| z |$ .

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Paso 9.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{100 + {(- 30)}^{2}}$

Paso 9.2

Eleva $- 30$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{100 + 900}$

Paso 9.3

Suma $100$ y $900$ .

$| z | = \sqrt{1000}$

Paso 9.4

Reescribe $1000$ como $10^{2} \cdot 10$ .

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Paso 9.4.1

Factoriza $100$ de $1000$ .

$| z | = \sqrt{100 (10)}$

Paso 9.4.2

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$| z | = \sqrt{10^{2} \cdot 10}$

Paso 9.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 10 \sqrt{10}$

Paso 10

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{10}{- 30})$

Paso 11

Como la tangente inversa de $\frac{10}{- 30}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $2.81984209$ .

$θ = 2.81984209$

Paso 12

Sustituye los valores de $θ = 2.81984209$ y $| z | = 10 \sqrt{10}$ .

$10 \sqrt{10} (\cos (2.81984209) + i \sin (2.81984209))$