Álgebra lineal Ejemplos

- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

Paso 1

Reescribe

${(4 - 3 i)}^{2}$ como

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ .

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

Paso 2

Expande

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica

$4$ por

$4$ .

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Paso 3.1.2

Multiplica

$- 3$ por

$4$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Paso 3.1.3

Multiplica

$4$ por

$- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

Paso 3.1.4

Multiplica

$- 3 i (- 3 i)$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica

$- 3$ por

$- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

Paso 3.1.4.2

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

Paso 3.1.4.3

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Paso 3.1.4.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

Paso 3.1.4.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

Paso 3.1.5

Reescribe

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

Paso 3.1.6

Multiplica

$9$ por

$- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

Paso 3.2

Resta

$9$ de

$16$ .

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

Paso 3.3

Resta

$12 i$ de

$- 12 i$ .

$- 5 i (7 - 24 i)$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

Paso 5

Multiplica

$7$ por

$- 5$ .

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

Paso 6

Multiplica

$- 5 i (- 24 i)$ .

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Paso 6.1

Multiplica

$- 24$ por

$- 5$ .

$- 35 i + 120 i i$

Paso 6.2

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

Paso 6.3

Eleva

$i$ a la potencia de

$1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

Paso 6.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$- 35 i + 120 i^{2}$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Reescribe

$i^{2}$ como

$- 1$ .

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

Paso 7.2

Multiplica

$120$ por

$- 1$ .

$- 35 i - 120$

Paso 8

Reordena

$- 35 i$ y

$- 120$ .

$- 120 - 35 i$

Paso 9

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde

$| z |$ es el módulo y

$θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 10

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde

$z = a + b i$

Paso 11

Sustituye los valores reales de

$a = - 120$ y

$b = - 35$ .

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

Paso 12

Obtén

$| z |$ .

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Paso 12.1

Eleva

$- 35$ a la potencia de

$2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

Paso 12.2

Eleva

$- 120$ a la potencia de

$2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

Paso 12.3

Suma

$1225$ y

$14400$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Paso 12.4

Reescribe

$15625$ como

$125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Paso 12.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 125$

Paso 13

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

Paso 14

Como la tangente inversa de

$\frac{- 35}{- 120}$ produce un ángulo en el tercer cuadrante, el valor del ángulo es

$3.42538676$ .

$θ = 3.42538676$

Paso 15

Sustituye los valores de

$θ = 3.42538676$ y

$| z | = 125$ .

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$