Álgebra lineal Ejemplos

- 4 \sqrt{3} + i

$- 4 \sqrt{3} + i$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde

| z |

$| z |$ es el módulo y

θ

$θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde

z = a + b i

$z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de

a = - 4 \sqrt{3}

$a = - 4 \sqrt{3}$ y

b = 1

$b = 1$ .

| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4

Obtén

| z |

$| z |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla del producto a

- 4 \sqrt{3}

$- 4 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.1.3

Eleva

- 4

$- 4$ a la potencia de

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ como

3

$3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ como

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Multiplica

$16$ por

$3$ .

$| z | = \sqrt{1 + 48}$

Paso 4.3.2

Suma

$1$ y

$48$ .

$| z | = \sqrt{49}$

Paso 4.3.3

Reescribe

$49$ como

$7^{2}$ .

$| z | = \sqrt{7^{2}}$

Paso 4.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 7$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{1}{- 4 \sqrt{3}})$

Paso 6

Como la tangente inversa de

$\frac{1}{- 4 \sqrt{3}}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es

$2.99824508$ .

$θ = 2.99824508$

Paso 7

Sustituye los valores de

$θ = 2.99824508$ y

$| z | = 7$ .

$7 (\cos (2.99824508) + i \sin (2.99824508))$