Álgebra lineal Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 725 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ u + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 4 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ v + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 528 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ w = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 35 - 18 102 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 7 \\ 2 \\ 5 \end{array}] u + [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \end{array}] v + [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 8 \end{array}] w = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Paso 1

La transformación define un mapa de

$ℝ^{0}$ a

$ℝ^{3}$ . Para probar que la transformación es lineal, esta debe conservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

$ℝ^{0} \to ℝ^{3}$

Paso 2

Primero pruebe que la transformación conserva esta propiedad.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Paso 3

Establece dos matrices para comprobar que

$M$ conserva la propiedad de la suma.

Paso 4

Suma las dos matrices.

$M$

Paso 5

Aplica la transformación al vector.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Paso 6

Divide el resultado en dos matrices mediante la agrupación de las variables.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 7

Como la propiedad de la suma de la transformación no se mantiene, esta no es una transformación lineal.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$