Álgebra lineal Ejemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 4 & 6 1 & - 3 & 5 3 & - 7 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ x = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1472 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 4 & 6 \\ 1 & - 3 & 5 \\ 3 & - 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 2 \end{array}]$

Paso 1

La transformación define un mapa de

$ℝ^{3}$ a

$ℝ^{3}$ . Para probar que la transformación es lineal, esta debe conservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Paso 2

Primero pruebe que la transformación conserva esta propiedad.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Paso 3

Establece dos matrices para comprobar que

$M$ conserva la propiedad de la suma.

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Paso 4

Suma las dos matrices.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Paso 5

Aplica la transformación al vector.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 2 \end{array}]$

Paso 6

Divide el resultado en dos matrices mediante la agrupación de las variables.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 7

Como la propiedad de la suma de la transformación no se mantiene, esta no es una transformación lineal.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$