Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 6 & - 2 & - 4 & 4 \\ 3 & - 3 & - 6 & 1 \\ - 12 & 8 & 21 & - 8 \\ - 6 & 0 & - 10 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}]$

Step 1

El núcleo de una transformación es un vector que hace que la transformación sea igual al vector nulo (la imagen previa de la transformación).

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}] = 0$

Step 2

Crea un sistema de ecuaciones a partir de la ecuación vectorial.

$2 = 0$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$0 = - 2$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$0 = 4$

$0 = - 2$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 5

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$0 = - 8$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$- 43 = 0$

Step 6

Suma $43$ a ambos lados de la ecuación.

$0 = 43$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$0 = - 8$

Step 7

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Step 8

Obtén la forma escalonada reducida de la matriz.

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Realiza la operación de fila $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ en $R_{1}$ (fila $1$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $1$ .

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Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación de la fila $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{1} \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ en $R_{2}$ (fila $2$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

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Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación de la fila $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ en $R_{3}$ (fila $3$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

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Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación de la fila $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 8 \cdot R_{1} + R_{3} \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (8) \cdot (1) - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ en $R_{4}$ (fila $4$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

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Reemplaza $R_{4}$ (fila $4$ ) con la operación de la fila $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 43 \cdot R_{1} + R_{4} \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Reemplaza $R_{4}$ (fila $4$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ (- 43) \cdot (1) + 43 \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Simplifica $R_{4}$ (fila $4$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 9

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$0 = 1$

Step 10

Esta expresión es la solución establecida para el sistema de ecuaciones.

${}$

Step 11

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 12

El espacio nulo del conjunto es el conjunto de vectores creados a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 13

El núcleo de $M$ es el subespacio ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$