Álgebra lineal Ejemplos

$x - [\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 & 2 & 2 \\ 8 & 3 & 4 \end{array}]$

Paso 1

La transformación define un mapa de $ℝ^{2}$ a $ℝ^{2}$ . Para probar que la transformación es lineal, esta debe conservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

x: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Paso 2

Primero pruebe que la transformación conserva esta propiedad.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Paso 3

Establece dos matrices para comprobar que $x$ conserva la propiedad de la suma.

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Paso 4

Suma las dos matrices.

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Paso 5

Aplica la transformación al vector.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array}]$

Paso 6

Divide el resultado en dos matrices mediante la agrupación de las variables.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 7

Como la propiedad de la suma de la transformación no se mantiene, esta no es una transformación lineal.

$x (x + y) \neq x (x) + x (y)$