Álgebra lineal Ejemplos

$S [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = (x + y + z) \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ z \end{array}]$

Paso 1

La transformación define un mapa de $ℝ^{3}$ a $ℝ^{1}$ . Para probar que la transformación es lineal, esta debe conservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{1}$

Paso 2

Primero pruebe que la transformación conserva esta propiedad.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Paso 3

Establece dos matrices para comprobar que $S$ conserva la propiedad de la suma.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Paso 4

Suma las dos matrices.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Paso 5

Aplica la transformación al vector.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Paso 6

Reorganiza $x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} + y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Paso 7

Divide el resultado en dos matrices mediante la agrupación de las variables.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Paso 8

La propiedad de la suma de la transformación se mantiene verdadera.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Paso 9

Para que una transformación sea lineal, debe mantener la multiplicación escalar.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}])$

Paso 10

Factoriza la $p$ de cada elemento.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Multiplica $p$ por cada elemento en la matriz.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p x \\ p y \\ p z \end{array}])$

Paso 10.2

Aplica la transformación al vector.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

Paso 10.3

Reorganiza $p x + p y + p z$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

Paso 10.4

Factoriza el elemento $0, 0$ mediante la multiplicación de $p x + p y + p z$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (x + y + z) \end{array}]$

Paso 11

La segunda propiedad de las transformaciones lineales se conserva en esta transformación.

$S (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]) = p S (x)$

Paso 12

Para que la transformación sea lineal, se debe conservar el vector cero.

$S (0) = 0$

Paso 13

Aplica la transformación al vector.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 + 0 + 0 \end{array}]$

Paso 14

Reorganiza $0 + 0 + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Paso 15

La transformación conserva el vector cero.

$S (0) = 0$

Paso 16

Como las tres propiedades de las transformaciones lineales no se cumplen, esta no es una transformación lineal.

Transformación lineal