Álgebra lineal Ejemplos

$p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Paso 1

La transformación define un mapa de $ℝ^{3}$ a $ℝ^{3}$ . Para probar que la transformación es lineal, esta debe conservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

p: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Paso 2

Primero pruebe que la transformación conserva esta propiedad.

$p (x + y) = p (x) + p (y)$

Paso 3

Establece dos matrices para comprobar que $p$ conserva la propiedad de la suma.

$p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Paso 4

Suma las dos matrices.

$p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Paso 5

Aplica la transformación al vector.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Paso 6

Reorganiza $\frac{26}{14}$ .

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Paso 7

Divide el resultado en dos matrices mediante la agrupación de las variables.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 8

Como la propiedad de la suma de la transformación no se mantiene, esta no es una transformación lineal.

$p (x + y) \neq p (x) + p (y)$