Álgebra lineal Ejemplos

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 x & y & z \end{matrix}] ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & x 2 & y 3 & z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & x \\ 2 & y \\ 3 & z \end{array}]$

Paso 1

Multiplica

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 x & y & z \end{matrix}] ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & x 2 & y 3 & z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & x \\ 2 & y \\ 3 & z \end{array}]$ .

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Paso 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

2 \times 3

$2 \times 3$ and the second matrix is

3 \times 2

$3 \times 2$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

[\begin{matrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & 1 x + 2 y + 3 z x \cdot 1 + y \cdot 2 + z \cdot 3 & x \cdot x + y \cdot y + z \cdot z \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & 1 x + 2 y + 3 z \\ x \cdot 1 + y \cdot 2 + z \cdot 3 & x \cdot x + y \cdot y + z \cdot z \end{array}]$

Paso 1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

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Paso 1.3.1

Multiplica

x

$x$ por

x

$x$ .

[\begin{matrix} 14 & x + 2 y + 3 z x + 2 y + 3 z & x^{2} + y \cdot y + z \cdot z \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y \cdot y + z \cdot z \end{array}]$

Paso 1.3.2

Multiplica

y

$y$ por

y

$y$ .

[\begin{matrix} 14 & x + 2 y + 3 z x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z \cdot z \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z \cdot z \end{array}]$

Paso 1.3.3

Multiplica

z

$z$ por

z

$z$ .

[\begin{matrix} 14 & x + 2 y + 3 z x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 14 & x + 2 y + 3 z x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 14 & x + 2 y + 3 z x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 14 & x + 2 y + 3 z \\ x + 2 y + 3 z & x^{2} + y^{2} + z^{2} \end{array}]$

Paso 2

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

14 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (x + 2 y + 3 z) (x + 2 y + 3 z)

$14 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (x + 2 y + 3 z) (x + 2 y + 3 z)$

Paso 3

Simplifica el determinante.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - (x + 2 y + 3 z) (x + 2 y + 3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - (x + 2 y + 3 z) (x + 2 y + 3 z)$

Paso 3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - (2 y) - (3 z)) (x + 2 y + 3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - (2 y) - (3 z)) (x + 2 y + 3 z)$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Multiplica

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - 2 y - (3 z)) (x + 2 y + 3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - 2 y - (3 z)) (x + 2 y + 3 z)$

Paso 3.1.3.2

Multiplica

3

$3$ por

- 1

$- 1$ .

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - 2 y - 3 z) (x + 2 y + 3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - 2 y - 3 z) (x + 2 y + 3 z)$

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - 2 y - 3 z) (x + 2 y + 3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} + (- x - 2 y - 3 z) (x + 2 y + 3 z)$

Paso 3.1.4

Expande

(- x - 2 y - 3 z) (x + 2 y + 3 z)

$(- x - 2 y - 3 z) (x + 2 y + 3 z)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x \cdot x - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x \cdot x - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica

x

$x$ por

x

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1.1

Mueve

x

$x$ .

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - (x \cdot x) - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - (x \cdot x) - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.1.2

Multiplica

x

$x$ por

x

$x$ .

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - x (2 y) - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 1 \cdot 2 x y - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 1 \cdot 2 x y - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.3

Multiplica

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - x (3 z) - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 1 \cdot 3 x z - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 1 \cdot 3 x z - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.5

Multiplica

- 1

$- 1$ por

3

$3$ .

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 y (2 y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 \cdot 2 y \cdot y - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 \cdot 2 y \cdot y - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.7

Multiplica

$y$ por

$y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.7.1

Mueve

$y$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 \cdot 2 (y \cdot y) - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.7.2

Multiplica

$y$ por

$y$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 2 \cdot 2 y^{2} - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.8

Multiplica

$- 2$ por

$2$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 2 y (3 z) - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 2 \cdot 3 y z - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.10

Multiplica

$- 2$ por

$3$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 3 z (2 y) - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 3 \cdot 2 z y - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.12

Multiplica

$- 3$ por

$2$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 z (3 z)$

Paso 3.1.5.13

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 \cdot 3 z \cdot z$

Paso 3.1.5.14

Multiplica

$z$ por

$z$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.14.1

Mueve

$z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 \cdot 3 (z \cdot z)$

Paso 3.1.5.14.2

Multiplica

$z$ por

$z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 3 \cdot 3 z^{2}$

Paso 3.1.5.15

Multiplica

$- 3$ por

$3$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 3 x z - 2 y x - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 9 z^{2}$

Paso 3.1.6

Resta

$2 y x$ de

$- 2 x y$ .

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Paso 3.1.6.1

Mueve

$y$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 2 x y - 2 x y - 3 x z - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 9 z^{2}$

Paso 3.1.6.2

Resta

$2 x y$ de

$- 2 x y$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 3 x z - 4 y^{2} - 6 y z - 3 z x - 6 z y - 9 z^{2}$

Paso 3.1.7

Resta

$3 z x$ de

$- 3 x z$ .

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Paso 3.1.7.1

Mueve

$z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 6 y z - 3 x z - 3 x z - 6 z y - 9 z^{2}$

Paso 3.1.7.2

Resta

$3 x z$ de

$- 3 x z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 6 y z - 6 x z - 6 z y - 9 z^{2}$

Paso 3.1.8

Resta

$6 z y$ de

$- 6 y z$ .

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Paso 3.1.8.1

Mueve

$z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 6 y z - 6 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

Paso 3.1.8.2

Resta

$6 y z$ de

$- 6 y z$ .

$14 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 12 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

Paso 3.2

Resta

$x^{2}$ de

$14 x^{2}$ .

$13 x^{2} + 14 y^{2} + 14 z^{2} - 4 x y - 4 y^{2} - 12 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

Paso 3.3

Resta

$4 y^{2}$ de

$14 y^{2}$ .

$13 x^{2} + 10 y^{2} + 14 z^{2} - 4 x y - 12 y z - 6 x z - 9 z^{2}$

Paso 3.4

Resta

$9 z^{2}$ de

$14 z^{2}$ .

$13 x^{2} + 10 y^{2} + 5 z^{2} - 4 x y - 12 y z - 6 x z$