Álgebra lineal Ejemplos

$9 x^{4} + 10 y^{4} = 42$

Paso 1

Resta $9 x^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$

Paso 2

Divide cada término en $10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$ por $10$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$ por $10$ .

$\frac{10 y^{4}}{10} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 y^{4}}{10} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Paso 2.2.1.2

Divide $y^{4}$ por $1$ .

$y^{4} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $42$ y $10$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $42$ .

$y^{4} = \frac{2 (21)}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Paso 2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y^{4} = \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Paso 2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{4} = \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Paso 2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{4} = \frac{21}{5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Paso 2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{4} = \frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}$

Paso 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}}$ .

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Paso 4.1

Para escribir $\frac{21}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Paso 4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $10$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{21}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2}{10} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2 - 9 x^{4}}{10}}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1

Factoriza $3$ de $21 \cdot 2 - 9 x^{4}$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $3$ de $21 \cdot 2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2) - 9 x^{4}}{10}}$

Paso 4.4.1.2

Factoriza $3$ de $- 9 x^{4}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2) + 3 (- 3 x^{4})}{10}}$

Paso 4.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 (7 \cdot 2) + 3 (- 3 x^{4})$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2 - 3 x^{4})}{10}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (14 - 3 x^{4})}{10}}$

Paso 4.5

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{3 (14 - 3 x^{4})}{10}}$ como $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Paso 4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{\sqrt[4]{10} {\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Paso 4.7.2

Eleva $\sqrt[4]{10}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{1} {\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Paso 4.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{1 + 3}}$

Paso 4.7.4

Suma $1$ y $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{4}}$

Paso 4.7.5

Reescribe ${\sqrt[4]{10}}^{4}$ como $10$ .

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Paso 4.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{10}$ como $10^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{(10^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Paso 4.7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Paso 4.7.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{4}{4}}}$

Paso 4.7.5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.7.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{4}{4}}}$

Paso 4.7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{1}}$

Paso 4.7.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10}$

Paso 4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.8.1

Reescribe ${\sqrt[4]{10}}^{3}$ como $\sqrt[4]{10^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} \sqrt[4]{10^{3}}}{10}$

Paso 4.8.2

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} \sqrt[4]{1000}}{10}$

Paso 4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4}) \cdot 1000}}{10}$

Paso 4.9.2

Multiplica $1000$ por $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Paso 6

Establece el radicando en $\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Divide cada término en $3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$ por $3000$ y simplifica.

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Paso 7.1.1

Divide cada término en $3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$ por $3000$ .

$\frac{3000 (14 - 3 x^{4})}{3000} \geq \frac{0}{3000}$

Paso 7.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.2.1

Cancela el factor común de $3000$ .

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Paso 7.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3000 (14 - 3 x^{4})}{3000} \geq \frac{0}{3000}$

Paso 7.1.2.1.2

Divide $14 - 3 x^{4}$ por $1$ .

$14 - 3 x^{4} \geq \frac{0}{3000}$

Paso 7.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.3.1

Divide $0$ por $3000$ .

$14 - 3 x^{4} \geq 0$

Paso 7.2

Resta $14$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 3 x^{4} \geq - 14$

Paso 7.3

Divide cada término en $- 3 x^{4} \geq - 14$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 7.3.1

Divide cada término de $- 3 x^{4} \geq - 14$ por $- 3$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Paso 7.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 7.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Paso 7.3.2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Paso 7.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{4} \leq \frac{14}{3}$

Paso 7.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[4]{x^{4}} \leq \sqrt[4]{\frac{14}{3}}$

Paso 7.5

Simplifica la ecuación.

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Paso 7.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt[4]{\frac{14}{3}}$

Paso 7.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.5.2.1

Simplifica $\sqrt[4]{\frac{14}{3}}$ .

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Paso 7.5.2.1.1

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{14}{3}}$ como $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$

Paso 7.5.2.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 7.5.2.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.5.2.1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 7.5.2.1.3.2

Eleva $\sqrt[4]{3}$ a la potencia de $1$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 7.5.2.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Paso 7.5.2.1.3.4

Suma $1$ y $3$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Paso 7.5.2.1.3.5

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ como $3$ .

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Paso 7.5.2.1.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{3}$ como $3^{\frac{1}{4}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Paso 7.5.2.1.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Paso 7.5.2.1.3.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Paso 7.5.2.1.3.5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.5.2.1.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Paso 7.5.2.1.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Paso 7.5.2.1.3.5.5

Evalúa el exponente.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Paso 7.5.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.2.1.4.1

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ como $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Paso 7.5.2.1.4.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} \sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 7.5.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.2.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14 \cdot 27}}{3}$

Paso 7.5.2.1.5.2

Multiplica $14$ por $27$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Paso 7.6

Escribe $| x | \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ como una función definida por partes.

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Paso 7.6.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 7.6.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Paso 7.6.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 7.6.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Paso 7.6.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3} & x < 0 \end{cases}$

Paso 7.7

Obtén la intersección de $x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Paso 7.8

Resuelve $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ cuando $x < 0$ .

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Paso 7.8.1

Divide cada término en $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.8.1.1

Divide cada término de $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Paso 7.8.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.8.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Paso 7.8.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Paso 7.8.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.8.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Paso 7.8.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ como $- \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Paso 7.8.2

Obtén la intersección de $x \geq - \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ y $x < 0$ .

$- \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x < 0$

Paso 7.9

Obtén la unión de las soluciones.

$- \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Paso 8

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- \frac{\sqrt[4]{378}}{3}, \frac{\sqrt[4]{378}}{3}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}}$

Paso 9