Álgebra lineal Ejemplos

$y - 2 x y = x^{3} y^{5}$

Paso 1

Resta $x^{3} y^{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 2 x y - x^{3} y^{5} = 0$

Paso 2

Factoriza $y$ de $y - 2 x y - x^{3} y^{5}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y - x^{3} y^{5} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $y$ de $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) - x^{3} y^{5} = 0$

Paso 2.3

Factoriza $y$ de $- x^{3} y^{5}$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) + y (- x^{3} y^{4}) = 0$

Paso 2.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y \cdot (1 - 2 x) + y (- x^{3} y^{4}) = 0$

Paso 2.5

Factoriza $y$ de $y \cdot (1 - 2 x) + y (- x^{3} y^{4})$ .

$y (1 - 2 x - x^{3} y^{4}) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y = 0$

$1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$

Paso 4

Establece $y$ igual a $0$ .

$y = 0$

Paso 5

Establece $1 - 2 x - x^{3} y^{4}$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 5.1

Establece $1 - 2 x - x^{3} y^{4}$ igual a $0$ .

$1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$ en $y$ .

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Paso 5.2.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x - x^{3} y^{4} = - 1$

Paso 5.2.1.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$ por $- x^{3}$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$ por $- x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} y^{4}}{- x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{3} y^{4}}{x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 5.2.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} y^{4}}{x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Paso 5.2.2.2.2.2

Divide $y^{4}$ por $1$ .

$y^{4} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Paso 5.2.2.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 5.2.2.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{- x^{3}}$

Paso 5.2.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{x (- x^{2})}$

Paso 5.2.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{x (- x^{2})}$

Paso 5.2.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{2}{- x^{2}}$

Paso 5.2.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}$

Paso 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}}$

Paso 5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}}$ .

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Paso 5.2.4.1

Para escribir $- \frac{2}{x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}}$

Paso 5.2.4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $x^{3}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Multiplica $\frac{2}{x^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2} x}}$

Paso 5.2.4.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.4.2.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.2.4.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2} x^{1}}}$

Paso 5.2.4.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2 + 1}}}$

Paso 5.2.4.2.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{3}}}$

Paso 5.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1 - 2 x}{x^{3}}}$

Paso 5.2.4.4

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{1 - 2 x}{x^{3}}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Paso 5.2.4.5

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Paso 5.2.4.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{\sqrt[4]{x^{3}} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Paso 5.2.4.6.2

Eleva $\sqrt[4]{x^{3}}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{1} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Paso 5.2.4.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{1 + 3}}$

Paso 5.2.4.6.4

Suma $1$ y $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{4}}$

Paso 5.2.4.6.5

Reescribe ${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4}$ como $x^{3}$ .

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Paso 5.2.4.6.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{(x^{\frac{3}{4}})}^{4}}$

Paso 5.2.4.6.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3}{4} \cdot 4}}$

Paso 5.2.4.6.5.3

Combina $\frac{3}{4}$ y $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3 \cdot 4}{4}}}$

Paso 5.2.4.6.5.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{12}{4}}}$

Paso 5.2.4.6.5.5

Cancela el factor común de $12$ y $4$ .

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Paso 5.2.4.6.5.5.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4}}}$

Paso 5.2.4.6.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.4.6.5.5.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4 (1)}}}$

Paso 5.2.4.6.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}}}$

Paso 5.2.4.6.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3}{1}}}$

Paso 5.2.4.6.5.5.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{3}}$

Paso 5.2.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.7.1

Reescribe ${\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}$ como $\sqrt[4]{{(x^{3})}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{{(x^{3})}^{3}}}{x^{3}}$

Paso 5.2.4.7.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{3}$ .

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Paso 5.2.4.7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{3 \cdot 3}}}{x^{3}}$

Paso 5.2.4.7.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{9}}}{x^{3}}$

Paso 5.2.4.7.3

Reescribe $x^{9}$ como ${(x^{2})}^{4} x$ .

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Paso 5.2.4.7.3.1

Factoriza $x^{8}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{8} x}}{x^{3}}$

Paso 5.2.4.7.3.2

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{{(x^{2})}^{4} x}}{x^{3}}$

Paso 5.2.4.7.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} x^{2} \sqrt[4]{x}}{x^{3}}$

Paso 5.2.4.7.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x^{3}}$

Paso 5.2.4.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.4.8.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 5.2.4.8.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} (\sqrt[4]{(1 - 2 x) x})}{x^{3}}$

Paso 5.2.4.8.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.4.8.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} (\sqrt[4]{(1 - 2 x) x})}{x^{2} x}$

Paso 5.2.4.8.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x^{2} x}$

Paso 5.2.4.8.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x}$

Paso 5.2.4.8.2

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Paso 5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Paso 5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.