Álgebra lineal Ejemplos

$y = \sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$

Paso 1

Establece el argumento en $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 2.3

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 2.4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 4$

$x = 2$

Paso 2.6

Consolida las soluciones.

$x = 4, 2$

Paso 2.7

Obtén el dominio de $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

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Paso 2.7.1

Establece el denominador en $\frac{4 - x}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 2.7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.7.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Paso 2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Paso 2.9.1.3

$- 2$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Paso 2.9.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Paso 2.9.3.3

$- 0.5$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 < x < 4$

Paso 3

Establece el radicando en $\sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) \geq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$

Paso 4.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{4 - x}{x - 2}$

Paso 4.2.2

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Paso 4.2.3

Simplifica $e^{0} (x - 2)$ .

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Paso 4.2.3.1

Elimina los paréntesis.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Paso 4.2.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 - x = 1 (x - 2)$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$4 - x = x - 2$

Paso 4.2.4

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.4.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 - x - x = - 2$

Paso 4.2.4.2

Resta $x$ de $- x$ .

$4 - 2 x = - 2$

Paso 4.2.5

Factoriza $2$ de $4 - 2 x$ .

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Paso 4.2.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) - 2 x = - 2$

Paso 4.2.5.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$2 (2) + 2 (- x) = - 2$

Paso 4.2.5.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (- x)$ .

$2 (2 - x) = - 2$

Paso 4.2.6

Divide cada término en $2 (2 - x) = - 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.6.1

Divide cada término en $2 (2 - x) = - 2$ por $2$ .

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 4.2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 4.2.6.2.1.2

Divide $2 - x$ por $1$ .

$2 - x = \frac{- 2}{2}$

Paso 4.2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.6.3.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$2 - x = - 1$

Paso 4.2.7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.7.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1 - 2$

Paso 4.2.7.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- x = - 3$

Paso 4.2.8

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.2.8.1

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 4.2.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.8.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 4.2.8.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 4.2.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.8.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Paso 4.3

Obtén el dominio de $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ .

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Paso 4.3.1

Establece el argumento en $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4.3.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 4.3.2.3

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.3.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 4.3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 4.3.2.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 4.3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.3.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 4.3.2.4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.3.2.5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 4$

$x = 2$

Paso 4.3.2.6

Consolida las soluciones.

$x = 4, 2$

Paso 4.3.2.7

Obtén el dominio de $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.7.1

Establece el denominador en $\frac{4 - x}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 4.3.2.7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.3.2.7.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 4.3.2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Paso 4.3.2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.3.2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 4.3.2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Paso 4.3.2.9.1.3

$- 2$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.3.2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.3.2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 4.3.2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Paso 4.3.2.9.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.3.2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.3.2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 4.3.2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Paso 4.3.2.9.3.3

$- 0.5$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.3.2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 4.3.2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 < x < 4$

Paso 4.3.3

Establece el denominador en $\frac{4 - x}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 4.3.4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(2, 4)$

Paso 4.4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Paso 4.5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 4.5.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\ln (\frac{4 - (0)}{(0) - 2}) \geq 0$

Paso 4.5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 4.5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 4.5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.5.2

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.5.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.5$

Paso 4.5.2.2

Reemplaza $x$ con $2.5$ en la desigualdad original.

$\ln (\frac{4 - (2.5)}{(2.5) - 2}) \geq 0$

Paso 4.5.2.3

$1.09861228$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.5.3

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.3.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3.5$

Paso 4.5.3.2

Reemplaza $x$ con $3.5$ en la desigualdad original.

$\ln (\frac{4 - (3.5)}{(3.5) - 2}) \geq 0$

Paso 4.5.3.3

$- 1.09861228$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.5.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 4.5.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\ln (\frac{4 - (6)}{(6) - 2}) \geq 0$

Paso 4.5.4.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 4.5.4.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 4.5.4.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.5.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadero

$3 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadero

$3 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Falso

Paso 4.6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 < x \leq 3$

Paso 5

Establece el denominador en $\frac{4 - x}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(2, 3]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | 2 < x \leq 3}$

Paso 8