Álgebra lineal Ejemplos

$y = \ln (x^{2} + \sqrt{x}) + a r c t g (\frac{e^{x}}{x}) + \frac{1}{x}$

Paso 1

Establece el argumento en $\ln (x^{2} + \sqrt{x})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} + \sqrt{x} > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\sqrt{x} > - x^{2}$

Paso 2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x}}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} > {(- x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Simplifica.

$x > {(- x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica ${(- x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- x^{2}$ .

$x > {(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x > 1 {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.3.1.3

Multiplica ${(x^{2})}^{2}$ por $1$ .

$x > {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.3.3.1.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x > x^{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.3.1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x > x^{4}$

Paso 2.4

Resuelve $x$

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Paso 2.4.1

Resta $x^{4}$ de ambos lados de la desigualdad.

$x - x^{4} > 0$

Paso 2.4.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x - x^{4} = 0$

Paso 2.4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $x$ de $x - x^{4}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Paso 2.4.3.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Paso 2.4.3.1.3

Factoriza $x$ de $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Paso 2.4.3.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Paso 2.4.3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Paso 2.4.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Paso 2.4.3.4

Factoriza.

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Paso 2.4.3.4.1

Simplifica.

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Paso 2.4.3.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Paso 2.4.3.4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Paso 2.4.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Paso 2.4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0$

Paso 2.4.5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4.6

Establece $1 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.6.1

Establece $1 - x$ igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 2.4.6.2

Resuelve $1 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 2.4.6.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.4.6.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.6.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.6.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.6.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 2.4.7

Establece $1 + x + x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.7.1

Establece $1 + x + x^{2}$ igual a $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Paso 2.4.7.2

Resuelve $1 + x + x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.7.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.7.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.4.7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.7.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.4.7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.7.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.7.2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.7.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.4.7.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.4.7.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.7.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.4.7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.7.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.7.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.7.2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.7.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.4.7.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.4.7.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5

Obtén el dominio de $x^{2} + \sqrt{x}$ .

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Paso 2.5.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 2.5.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 2.6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 2.7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 2.7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{2} + \sqrt{- 2} > 0$

Paso 2.7.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.7.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.7.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 2.7.2.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

${(0.5)}^{2} + \sqrt{0.5} > 0$

Paso 2.7.2.3

$0.95710678$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.7.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{2} + \sqrt{4} > 0$

Paso 2.7.3.3

$18$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Verdadero

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Verdadero

Paso 2.8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < 1$ o $x > 1$

Paso 3

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 4

Establece el denominador en $\frac{e^{x}}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Paso 6