Álgebra lineal Ejemplos

{| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Elimina el valor absoluto en

{| p + q |}^{2}

${| p + q |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

{(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Paso 1.2

Elimina el valor absoluto en

{| p - q |}^{2}

${| p - q |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Elimina el valor absoluto en

{| p |}^{2}

${| p |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Paso 2.2

Elimina el valor absoluto en

{| q |}^{2}

${| q |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan

p

$p$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Resta

2 p^{2}

$2 p^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reescribe

{(p + q)}^{2}

${(p + q)}^{2}$ como

(p + q) (p + q)

$(p + q) (p + q)$ .

(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.2

Expande

(p + q) (p + q)

$(p + q) (p + q)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1.1

Multiplica

p

$p$ por

p

$p$ .

p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica

q

$q$ por

q

$q$ .

p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.3.2

Suma

p q

$p q$ y

q p

$q p$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.2.1

Reordena

q

$q$ y

p

$p$ .

p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.3.2.2

Suma

p q

$p q$ y

p q

$p q$ .

p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.4

Reescribe

{(p - q)}^{2}

${(p - q)}^{2}$ como

(p - q) (p - q)

$(p - q) (p - q)$ .

p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.5

Expande

(p - q) (p - q)

$(p - q) (p - q)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.6.1.1

Multiplica

p

$p$ por

p

$p$ .

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.4

Multiplica

q

$q$ por

q

$q$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.6.1.4.1

Mueve

q

$q$ .

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.4.2

Multiplica

q

$q$ por

q

$q$ .

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.5

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.6

Multiplica

q^{2}

$q^{2}$ por

1

$1$ .

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.2

Resta

q p

$q p$ de

- p q

$- p q$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.6.2.1

Mueve

q

$q$ .

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.2.2

Resta

p q

$p q$ de

- p q

$- p q$ .

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.3

Combina los términos opuestos en

p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Resta

2 p q

$2 p q$ de

2 p q

$2 p q$ .

p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.3.2

Suma

p^{2} + q^{2} + p^{2}

$p^{2} + q^{2} + p^{2}$ y

0

$0$ .

p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.4

Suma

p^{2}

$p^{2}$ y

p^{2}

$p^{2}$ .

2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.5

Combina los términos opuestos en

2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Resta

2 p^{2}

$2 p^{2}$ de

2 p^{2}

$2 p^{2}$ .

q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}

$q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}$

Paso 3.5.2

Suma

q^{2} + q^{2}

$q^{2} + q^{2}$ y

0

$0$ .

q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.6

Suma

q^{2}

$q^{2}$ y

q^{2}

$q^{2}$ .

2 q^{2} = 2 q^{2}

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

2 q^{2} = 2 q^{2}

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

Paso 4

Divide cada término en

2 q^{2} = 2 q^{2}

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ por

2

$2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en

2 q^{2} = 2 q^{2}

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ por

2

$2$ .

\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Cancela el factor común de

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Paso 4.2.1.2

Divide

$q^{2}$ por

$1$ .

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Cancela el factor común.

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Paso 4.3.1.2

Divide

$q^{2}$ por

$1$ .

$q^{2} = q^{2}$

Paso 5

Como los exponentes son iguales, las bases de los exponentes en ambos lados de la ecuación deben ser iguales.

$| q | = | q |$

Paso 6

Resuelve

$q$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$q = q$

$q = - q$

$- q = q$

$- q = - q$

Paso 6.2

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$q = q$

$q = - q$

Paso 6.3

Resuelve

$q = q$ en

$q$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que contengan

$q$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1

Resta

$q$ de ambos lados de la ecuación.

$q - q = 0$

Paso 6.3.1.2

Resta

$q$ de

$q$ .

$0 = 0$

Paso 6.3.2

Como

$0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Siempre verdadero

Paso 6.4

Resuelve

$q = - q$ en

$q$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Mueve todos los términos que contengan

$q$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1.1

Suma

$q$ a ambos lados de la ecuación.

$q + q = 0$

Paso 6.4.1.2

Suma

$q$ y

$q$ .

$2 q = 0$

Paso 6.4.2

Divide cada término en

$2 q = 0$ por

$2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1

Divide cada término en

$2 q = 0$ por

$2$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Divide

$q$ por

$1$ .

$q = \frac{0}{2}$

Paso 6.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.3.1

Divide

$0$ por

$2$ .

$q = 0$

Paso 6.5

Enumera todas las soluciones.

$q = 0$

Paso 7

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 8