Álgebra lineal Ejemplos

${(3 - h)}^{2} + {(- 5 - k)}^{2} = 2 {(\sqrt{7})}^{2}$

Paso 1

Resta ${(- 5 - k)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(3 - h)}^{2} = 2 {\sqrt{7}}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Paso 2

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{1} - {(- 5 - k)}^{2}$

Paso 2.5

Evalúa el exponente.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7 - {(- 5 - k)}^{2}$

Paso 3

Multiplica $2$ por $7$ .

${(3 - h)}^{2} = 14 - {(- 5 - k)}^{2}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$ .

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Paso 5.1

Reescribe ${(- 5 - k)}^{2}$ como $(- 5 - k) (- 5 - k)$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - ((- 5 - k) (- 5 - k))}$

Paso 5.2

Expande $(- 5 - k) (- 5 - k)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 (- 5 - k) - k (- 5 - k))}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k (- 5 - k))}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Paso 5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - k (- k))}$

Paso 5.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k \cdot k)}$

Paso 5.3.1.5

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.5.1

Mueve $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 (k \cdot k))}$

Paso 5.3.1.5.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k^{2})}$

Paso 5.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + 1 k^{2})}$

Paso 5.3.1.7

Multiplica $k^{2}$ por $1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + k^{2})}$

Paso 5.3.2

Suma $5 k$ y $5 k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 10 k + k^{2})}$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 1 \cdot 25 - (10 k) - k^{2}}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - (10 k) - k^{2}}$

Paso 5.5.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - 10 k - k^{2}}$

Paso 5.6

Resta $25$ de $14$ .

$3 - h = \pm \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$3 - h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Paso 6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Paso 6.3

Divide cada término en $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{h}{1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.3.2.2

Divide $h$ por $1$ .

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1}$ .

$h = - 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ como $- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.3.3.1.3

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Paso 6.4

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$3 - h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Paso 6.5

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Paso 6.6

Divide cada término en $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.6.1

Divide cada término en $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{h}{1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.6.2.2

Divide $h$ por $1$ .

$h = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.6.3.1.2

Divide $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ por $1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 6.6.3.1.3

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Paso 6.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- 11 - 10 k - k^{2} \geq 0$

Paso 8

Resuelve $k$

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Paso 8.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 11 - 10 k - k^{2} = 0$

Paso 8.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.3

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = - 10$ y $c = - 11$ en la fórmula cuadrática y resuelve $k$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 11)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

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Paso 8.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.4.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.4.1.3

Resta $44$ de $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.4.1.4

Reescribe $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

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Paso 8.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Paso 8.4.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Paso 8.4.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Paso 8.4.5

Reescribe $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ como $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Paso 8.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 8.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

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Paso 8.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.1.3

Resta $44$ de $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.1.4

Reescribe $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

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Paso 8.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Paso 8.5.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Paso 8.5.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Paso 8.5.5

Reescribe $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ como $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Paso 8.5.6

Cambia $\pm$ a $+$ .

$k = - (5 + \sqrt{14})$

Paso 8.5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$k = - 1 \cdot 5 - \sqrt{14}$

Paso 8.5.8

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$k = - 5 - \sqrt{14}$

Paso 8.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.6.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

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Paso 8.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.6.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.6.1.3

Resta $44$ de $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.6.1.4

Reescribe $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

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Paso 8.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Paso 8.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Paso 8.6.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Paso 8.6.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Paso 8.6.5

Reescribe $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ como $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Paso 8.6.6

Cambia $\pm$ a $-$ .

$k = - (5 - \sqrt{14})$

Paso 8.6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$k = - 1 \cdot 5 + \sqrt{14}$

Paso 8.6.8

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Paso 8.6.9

Multiplica $- - \sqrt{14}$ .

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Paso 8.6.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$k = - 5 + 1 \sqrt{14}$

Paso 8.6.9.2

Multiplica $\sqrt{14}$ por $1$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Paso 8.7

Consolida las soluciones.

$k = - 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}$

Paso 8.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$k < - 5 - \sqrt{14}$

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$

$k > - 5 + \sqrt{14}$

Paso 8.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.9.1

Prueba un valor en el intervalo $k < - 5 - \sqrt{14}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $k < - 5 - \sqrt{14}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$k = - 11$

Paso 8.9.1.2

Reemplaza $k$ con $- 11$ en la desigualdad original.

$- 11 - 10 \cdot - 11 - {(- 11)}^{2} \geq 0$

Paso 8.9.1.3

$- 22$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$k = - 5$

Paso 8.9.2.2

Reemplaza $k$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$- 11 - 10 \cdot - 5 - {(- 5)}^{2} \geq 0$

Paso 8.9.2.3

$14$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.9.3

Prueba un valor en el intervalo $k > - 5 + \sqrt{14}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $k > - 5 + \sqrt{14}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$k = 0$

Paso 8.9.3.2

Reemplaza $k$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 11 - 10 \cdot 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Paso 8.9.3.3

$- 11$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Falso

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Verdadero

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Falso

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Falso

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Verdadero

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Falso

Paso 8.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $k$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${k | - 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}}$

Paso 10