Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{x^{2}}{169}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{169}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $25$ .

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $25$ por $1$ .

$y^{2} = 25 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $25 (- \frac{x^{2}}{169})$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$y^{2} = 25 - 25 \frac{x^{2}}{169}$

Paso 3.2.1.3.2

Combina $- 25$ y $\frac{x^{2}}{169}$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{169}$

Paso 3.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{169}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$ .

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Paso 5.1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 5.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - \frac{25 x^{2}}{169}}$

Paso 5.1.2

Reescribe $\frac{25 x^{2}}{169}$ como ${(\frac{5 x}{13})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - {(\frac{5 x}{13})}^{2}}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = \frac{5 x}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Paso 5.3

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \cdot \frac{13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Paso 5.4

Combina $5$ y $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 \cdot 13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 \cdot 13 + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Paso 5.6

Factoriza $5$ de $5 \cdot 13 + 5 x$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $5$ de $5 \cdot 13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Paso 5.6.2

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 (x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Paso 5.6.3

Factoriza $5$ de $5 (13) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Paso 5.7

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 \cdot \frac{13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

Paso 5.8

Combina $5$ y $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (\frac{5 \cdot 13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

Paso 5.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 \cdot 13 - 5 x}{13}}$

Paso 5.10

Factoriza $5$ de $5 \cdot 13 - 5 x$ .

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Paso 5.10.1

Factoriza $5$ de $5 \cdot 13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) - 5 x}{13}}$

Paso 5.10.2

Factoriza $5$ de $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) + 5 (- x)}{13}}$

Paso 5.10.3

Factoriza $5$ de $5 (13) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13 - x)}{13}}$

Paso 5.11

Multiplica $\frac{5 (13 + x)}{13}$ por $\frac{5 (13 - x)}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x) (5 (13 - x))}{13 \cdot 13}}$

Paso 5.12

Multiplica.

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Paso 5.12.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{13 \cdot 13}}$

Paso 5.12.2

Multiplica $13$ por $13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}}$

Paso 5.13

Reescribe $\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}$ como ${(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))$ .

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Paso 5.13.1

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25 (13 + x) (13 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{169}}$

Paso 5.13.2

Factoriza la potencia perfecta $13^{2}$ de $169$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.13.3

Reorganiza la fracción $\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))}$

Paso 5.14

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{5}{13} \sqrt{(13 + x) (13 - x)}$

Paso 5.15

Combina $\frac{5}{13}$ y $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(13 + x) (13 - x) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$13 + x = 0$

$13 - x = 0$

Paso 8.2

Establece $13 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $13 + x$ igual a $0$ .

$13 + x = 0$

Paso 8.2.2

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 13$

Paso 8.3

Establece $13 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $13 - x$ igual a $0$ .

$13 - x = 0$

Paso 8.3.2

Resuelve $13 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 8.3.2.1

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 13$

Paso 8.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 13$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 13$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.2.3.1

Divide $- 13$ por $- 1$ .

$x = 13$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(13 + x) (13 - x) \geq 0$ verdadera.

$x = - 13, 13$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 13$

$- 13 < x < 13$

$x > 13$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 13$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 13$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 16$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 16$ en la desigualdad original.

$(13 - 16) (13 - (- 16)) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$- 87$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 13 < x < 13$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 13 < x < 13$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(13 + 0) (13 - (0)) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$169$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 13$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 13$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 16$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $16$ en la desigualdad original.

$(13 + 16) (13 - (16)) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$- 87$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 13$ Falso

$- 13 < x < 13$ Verdadero

$x > 13$ Falso

$x < - 13$ Falso

$- 13 < x < 13$ Verdadero

$x > 13$ Falso

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 13 \leq x \leq 13$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 13, 13]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 13 \leq x \leq 13}$

Paso 10