Álgebra lineal Ejemplos

[\begin{matrix} 10 & 9 - 6 & - 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 10 & 9 \\ - 6 & - 5 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

10 \cdot - 5 - (- 6 \cdot 9)

$10 \cdot - 5 - (- 6 \cdot 9)$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica

10

$10$ por

- 5

$- 5$ .

- 50 - (- 6 \cdot 9)

$- 50 - (- 6 \cdot 9)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica

- (- 6 \cdot 9)

$- (- 6 \cdot 9)$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica

- 6

$- 6$ por

9

$9$ .

- 50 - - 54

$- 50 - - 54$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 54

$- 54$ .

- 50 + 54

$- 50 + 54$

- 50 + 54

$- 50 + 54$

- 50 + 54

$- 50 + 54$

Paso 2.2.2

Suma

- 50

$- 50$ y

54

$54$ .

4

$4$

4

$4$

4

$4$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{4} [\begin{matrix} - 5 & - 9 6 & 10 \end{matrix}]

$\frac{1}{4} [\begin{array}{c} - 5 & - 9 \\ 6 & 10 \end{array}]$

Paso 5

Multiplica

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ por cada elemento de la matriz.

[\begin{matrix} \frac{1}{4} \cdot - 5 & \frac{1}{4} \cdot - 9 \frac{1}{4} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot - 5 & \frac{1}{4} \cdot - 9 \\ \frac{1}{4} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 6.1

Combina

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ y

- 5

$- 5$ .

[\begin{matrix} \frac{- 5}{4} & \frac{1}{4} \cdot - 9 \frac{1}{4} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 5}{4} & \frac{1}{4} \cdot - 9 \\ \frac{1}{4} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{array}]$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

[\begin{matrix} - \frac{5}{4} & \frac{1}{4} \cdot - 9 \frac{1}{4} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & \frac{1}{4} \cdot - 9 \\ \frac{1}{4} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{array}]$

Paso 6.3

Combina

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ y

- 9

$- 9$ .

[\begin{matrix} - \frac{5}{4} & \frac{- 9}{4} \frac{1}{4} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & \frac{- 9}{4} \\ \frac{1}{4} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{array}]$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

[\begin{matrix} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \frac{1}{4} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{1}{4} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{array}]$

Paso 6.5

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza

2

$2$ de

4

$4$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \frac{1}{2 (2)} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{1}{2 (2)} \cdot 6 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{array}]$

Paso 6.5.2

Factoriza

2

$2$ de

6

$6$ .

[\begin{matrix} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{array}]$

Paso 6.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{array}]$

Paso 6.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{1}{2} \cdot 3 & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{array}]$

Paso 6.6

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{4} \cdot 10 \end{array}]$

Paso 6.7

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 6.7.1

Factoriza

$2$ de

$4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2 (2)} \cdot 10 \end{array}]$

Paso 6.7.2

Factoriza

$2$ de

$10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 5) \end{array}]$

Paso 6.7.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 5) \end{array}]$

Paso 6.7.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 6.8

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \end{array}]$