Álgebra lineal Ejemplos

y = 3 x + 2

$y = 3 x + 2$ ,

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$

Paso 1

Resta

3 x

$3 x$ de ambos lados de la ecuación.

y - 3 x = 2, x - 4 y = 9

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

Paso 2

Para obtener la intersección de la línea que pasa por un punto

(p, q, r)

$(p, q, r)$ perpendicular al plano

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ y al plano

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Busca los vectores normales del plano

P_{1}

$P_{1}$ y del plano

P_{2}

$P_{2}$ donde los vectores normales son

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ y

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Comprueba si el producto escalar es 0.

2. Crea un conjunto de ecuaciones paramétricas tales que

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ y

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Sustituye estas ecuaciones en la ecuación del plano

P_{2}

$P_{2}$ tal que

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ y resuelve para

t

$t$ .

4. A partir del valor de

t

$t$ , resuelve las ecuaciones paramétricas

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ y

z = r + c t

$z = r + c t$ en

t

$t$ para obtener la intersección de

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Paso 3

Obtén los vectores normales para cada plano y determina si son perpendiculares mediante el cálculo del producto escalar.

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Paso 3.1

P_{1}

$P_{1}$ es

y - 3 x = 2

$y - 3 x = 2$ . Encuentra el vector normal

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

Paso 3.2

P_{2}

$P_{2}$ es

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$ . Encuentra el vector normal

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

Paso 3.3

Calcula el producto escalar de

n_{1}

$n_{1}$ y

n_{2}

$n_{2}$ mediante la suma de los productos de los valores correspondientes de

x

$x$ ,

y

$y$ y

z

$z$ en los vectores normales.

- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4

Simplifica el producto escalar.

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Paso 3.4.1

Elimina los paréntesis.

- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica

- 3

$- 3$ por

1

$1$ .

- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2.2

Multiplica

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

- 3 - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2.3

Multiplica

0

$0$ por

0

$0$ .

- 3 - 4 + 0

$- 3 - 4 + 0$

- 3 - 4 + 0

$- 3 - 4 + 0$

Paso 3.4.3

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.4.3.1

Resta

4

$4$ de

- 3

$- 3$ .

- 7 + 0

$- 7 + 0$

Paso 3.4.3.2

Suma

- 7

$- 7$ y

0

$0$ .

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

Paso 4

A continuación, construye un conjunto de ecuaciones paramétricas

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ y

z = r + c t

$z = r + c t$ con el origen

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ para el punto

(p, q, r)

$(p, q, r)$ y los valores del vector normal

- 7

$- 7$ para los valores de

a

$a$ ,

b

$b$ y

c

$c$ . Este conjunto de ecuaciones paramétricas representa la línea que pasa por el origen perpendicular a

P_{1}

$P_{1}$

y - 3 x = 2

$y - 3 x = 2$ .

x = 0 + - 3 \cdot t

$x = 0 + - 3 \cdot t$

y = 0 + 1 \cdot t

$y = 0 + 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Paso 5

Sustituye la expresión para

x

$x$ ,

y

$y$ y

z

$z$ en la ecuación para

P_{2}

$P_{2}$

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$ .

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Paso 6

Resuelve la ecuación en

t

$t$ .

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Paso 6.1

Simplifica

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

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Paso 6.1.1

Combina los términos opuestos en

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

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Paso 6.1.1.1

Resta

3 \cdot t

$3 \cdot t$ de

0

$0$ .

- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Paso 6.1.1.2

Suma

0

$0$ y

1 \cdot t

$1 \cdot t$ .

- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

Paso 6.1.2

Multiplica

t

$t$ por

1

$1$ .

- 3 t - 4 t = 9

$- 3 t - 4 t = 9$

Paso 6.1.3

Resta

4 t

$4 t$ de

- 3 t

$- 3 t$ .

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$

Paso 6.2

Divide cada término en

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$ por

- 7

$- 7$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$ por

- 7

$- 7$ .

\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de

- 7

$- 7$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide

t

$t$ por

1

$1$ .

t = \frac{9}{- 7}

$t = \frac{9}{- 7}$

t = \frac{9}{- 7}

$t = \frac{9}{- 7}$

t = \frac{9}{- 7}

$t = \frac{9}{- 7}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

t = - \frac{9}{7}

$t = - \frac{9}{7}$

t = - \frac{9}{7}

$t = - \frac{9}{7}$

t = - \frac{9}{7}

$t = - \frac{9}{7}$

t = - \frac{9}{7}

$t = - \frac{9}{7}$

Paso 7

Resuelve las ecuaciones paramétricas en

x

$x$ ,

y

$y$ y

z

$z$ mediante el valor de

t

$t$ .

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Paso 7.1

Resuelve la ecuación en

x

$x$ .

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Paso 7.1.1

Elimina los paréntesis.

x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Paso 7.1.2

Elimina los paréntesis.

x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

Paso 7.1.3

Simplifica

0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})

$0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

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Paso 7.1.3.1

Multiplica

- 3 (- \frac{9}{7})

$- 3 (- \frac{9}{7})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.3.1.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 3

$- 3$ .

x = 0 + 3 (\frac{9}{7})

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

Paso 7.1.3.1.2

Combina

3

$3$ y

\frac{9}{7}

$\frac{9}{7}$ .

x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

Paso 7.1.3.1.3

Multiplica

3

$3$ por

9

$9$ .

x = 0 + \frac{27}{7}

$x = 0 + \frac{27}{7}$

x = 0 + \frac{27}{7}

$x = 0 + \frac{27}{7}$

Paso 7.1.3.2

Suma

0

$0$ y

\frac{27}{7}

$\frac{27}{7}$ .

x = \frac{27}{7}

$x = \frac{27}{7}$

x = \frac{27}{7}

$x = \frac{27}{7}$

x = \frac{27}{7}

$x = \frac{27}{7}$

Paso 7.2

Resuelve la ecuación en

y

$y$ .

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Paso 7.2.1

Elimina los paréntesis.

y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Paso 7.2.2

Elimina los paréntesis.

y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

Paso 7.2.3

Simplifica

0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})

$0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

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Paso 7.2.3.1

Multiplica

- \frac{9}{7}

$- \frac{9}{7}$ por

1

$1$ .

y = 0 - \frac{9}{7}

$y = 0 - \frac{9}{7}$

Paso 7.2.3.2

Resta

\frac{9}{7}

$\frac{9}{7}$ de

0

$0$ .

y = - \frac{9}{7}

$y = - \frac{9}{7}$

y = - \frac{9}{7}

$y = - \frac{9}{7}$

y = - \frac{9}{7}

$y = - \frac{9}{7}$

Paso 7.3

Resuelve la ecuación en

z

$z$ .

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Paso 7.3.1

Elimina los paréntesis.

z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Paso 7.3.2

Elimina los paréntesis.

z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

Paso 7.3.3

Simplifica

0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})

$0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

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Paso 7.3.3.1

Multiplica

0 (- \frac{9}{7})

$0 (- \frac{9}{7})$ .

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Paso 7.3.3.1.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

z = 0 + 0 (\frac{9}{7})

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

Paso 7.3.3.1.2

Multiplica

0

$0$ por

\frac{9}{7}

$\frac{9}{7}$ .

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

Paso 7.3.3.2

Suma

0

$0$ y

0

$0$ .

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

Paso 7.4

Las ecuaciones paramétricas resueltas para

x

$x$ ,

y

$y$ y

z

$z$ .

x = \frac{27}{7}

$x = \frac{27}{7}$

y = - \frac{9}{7}

$y = - \frac{9}{7}$

z = 0

$z = 0$

x = \frac{27}{7}

$x = \frac{27}{7}$

y = - \frac{9}{7}

$y = - \frac{9}{7}$

z = 0

$z = 0$

Paso 8

Mediante los valores calculados para

x

$x$ ,

y

$y$ y

z

$z$ , el punto de intersección es

(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ .

(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$