Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

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Paso 1.4.3.1

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.3

Suma $- 3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.4

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.5

Suma $- 3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 \\ - 3 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - λ & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

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Paso 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Paso 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Paso 1.5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Paso 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Paso 1.5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$

Paso 1.5.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Paso 1.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Paso 1.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) ((5 - λ) (1 - λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Expande $(5 - λ) (1 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 1 + 5 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 1 + 5 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.4.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.2.1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 + 5 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 5 λ - λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.2.2

Resta $λ$ de $- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 6 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 1)) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.3

Multiplica $- (- 3 \cdot 1)$ .

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Paso 1.5.4.2.1.3.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 6 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

Paso 1.5.4.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 - 6 λ + λ^{2} + 3) + 0$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $5$ y $3$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (- 6 λ + λ^{2} + 8) + 0$

Paso 1.5.4.2.3

Reordena $- 6 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0$

Paso 1.5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.5.1

Combina los términos opuestos en $0 + (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0$ .

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Paso 1.5.5.1.1

Suma $0$ y $(1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0$

Paso 1.5.5.1.2

Suma $(1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$

Paso 1.5.5.2

Expande $(1 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 6 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.3.1

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 6 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3.2

Multiplica $- 6 λ$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3.4

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.3.4.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3.4.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 1.5.5.3.4.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3.6

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.3.6.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3.6.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3.7

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} + 6 λ^{2} - λ \cdot 8$

Paso 1.5.5.3.8

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ$

Paso 1.5.5.4

Suma $λ^{2}$ y $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 6 λ + 8 - λ^{3} - 8 λ$

Paso 1.5.5.5

Resta $8 λ$ de $- 6 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 14 λ + 8 - λ^{3}$

Paso 1.5.5.6

Mueve $8$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 14 λ - λ^{3} + 8$

Paso 1.5.5.7

Mueve $- 14 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - λ^{3} - 14 λ + 8$

Paso 1.5.5.8

Reordena $7 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 7 λ^{2} - 14 λ + 8$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} + 7 λ^{2} - 14 λ + 8 = 0$

Paso 1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.7.1.1

Reagrupa los términos.

$- λ^{3} + 8 + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Paso 1.7.1.2

Factoriza $- 1$ de $- λ^{3} + 8$ .

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Paso 1.7.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) + 8 + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Paso 1.7.1.2.2

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$- (λ^{3}) - 1 \cdot - 8 + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Paso 1.7.1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (λ^{3}) - 1 (- 8)$ .

$- (λ^{3} - 8) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Paso 1.7.1.3

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$- (λ^{3} - 2^{3}) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Paso 1.7.1.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = λ$ y $b = 2$ .

$- ((λ - 2) (λ^{2} + λ \cdot 2 + 2^{2})) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Paso 1.7.1.5

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1.5.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1.5.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $λ$ .

$- ((λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 2^{2})) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Paso 1.7.1.5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- ((λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4)) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Paso 1.7.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ^{2} - 14 λ = 0$

Paso 1.7.1.6

Factoriza $7 λ$ de $7 λ^{2} - 14 λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1.6.1

Factoriza $7 λ$ de $7 λ^{2}$ .

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ) - 14 λ = 0$

Paso 1.7.1.6.2

Factoriza $7 λ$ de $- 14 λ$ .

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ) + 7 λ (- 2) = 0$

Paso 1.7.1.6.3

Factoriza $7 λ$ de $7 λ (λ) + 7 λ (- 2)$ .

$- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ - 2) = 0$

Paso 1.7.1.7

Factoriza $λ - 2$ de $- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ (λ - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1.7.1

Factoriza $λ - 2$ de $- (λ - 2) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ .

$(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4)) + 7 λ (λ - 2) = 0$

Paso 1.7.1.7.2

Factoriza $λ - 2$ de $7 λ (λ - 2)$ .

$(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4)) + (λ - 2) (7 λ) = 0$

Paso 1.7.1.7.3

Factoriza $λ - 2$ de $(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4)) + (λ - 2) (7 λ)$ .

$(λ - 2) (- 1 (λ^{2} + 2 λ + 4) + 7 λ) = 0$

Paso 1.7.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(λ - 2) (- 1 λ^{2} - 1 (2 λ) - 1 \cdot 4 + 7 λ) = 0$

Paso 1.7.1.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1.9.1

Reescribe $- 1 λ^{2}$ como $- λ^{2}$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} - 1 (2 λ) - 1 \cdot 4 + 7 λ) = 0$

Paso 1.7.1.9.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} - 2 λ - 1 \cdot 4 + 7 λ) = 0$

Paso 1.7.1.9.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} - 2 λ - 4 + 7 λ) = 0$

Paso 1.7.1.10

Suma $- 2 λ$ y $7 λ$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

Paso 1.7.1.11

Factoriza.

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Paso 1.7.1.11.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.7.1.11.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ y cuya suma es $b = 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1.11.1.1.1

Factoriza $5$ de $5 λ$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

Paso 1.7.1.11.1.1.2

Reescribe $5$ como $1$ más $4$

$(λ - 2) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

Paso 1.7.1.11.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

Paso 1.7.1.11.1.1.4

Multiplica $λ$ por $1$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

Paso 1.7.1.11.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.7.1.11.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(λ - 2) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

Paso 1.7.1.11.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(λ - 2) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

Paso 1.7.1.11.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- λ + 1$ .

$(λ - 2) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

Paso 1.7.1.11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(λ - 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

Paso 1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ - 2 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

Paso 1.7.3

Establece $λ - 2$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.3.1

Establece $λ - 2$ igual a $0$ .

$λ - 2 = 0$

Paso 1.7.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 2$

Paso 1.7.4

Establece $- λ + 1$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.4.1

Establece $- λ + 1$ igual a $0$ .

$- λ + 1 = 0$

Paso 1.7.4.2

Resuelve $- λ + 1 = 0$ en $λ$ .

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Paso 1.7.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- λ = - 1$

Paso 1.7.4.2.2

Divide cada término en $- λ = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.7.4.2.2.1

Divide cada término en $- λ = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.7.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.7.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.7.4.2.2.2.2

Divide $λ$ por $1$ .

$λ = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.7.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.7.4.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$λ = 1$

Paso 1.7.5

Establece $λ - 4$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.5.1

Establece $λ - 4$ igual a $0$ .

$λ - 4 = 0$

Paso 1.7.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 4$

Paso 1.7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(λ - 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ verdadera.

$λ = 2, 1, 4$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $- 2$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.6

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.7

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.8

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 5 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3

Simplify each element.

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Paso 3.2.3.1

Resta $2$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.4

Suma $- 3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.5

Resta $2$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.7

Suma $- 3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.8

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.9

Resta $2$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 \\ - 3 & - 1 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & - 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} \\ - 3 & - 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ - 3 & - 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 (\frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 1 + 3 (\frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{3} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{3} \\ z \\ z \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Resta los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 5 - 1 & 0 - 0 & 1 - 0 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2

Simplify each element.

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Paso 4.2.2.1

Resta $1$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 - 0 & 1 - 0 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.2

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 - 0 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.3

Resta $0$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.4

Resta $0$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.5

Resta $1$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.6

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.7

Resta $0$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.8

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.9

Resta $1$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{0}{4} & \frac{1}{4} & \frac{0}{4} \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 (\frac{1}{4}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \\ - 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 (\frac{1}{4}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{4}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{4}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} & \frac{4}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.6.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Paso 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

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Paso 5.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 4$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 5.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.4

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.6

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.7

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.8

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 5.2.1.2.9

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Paso 5.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Paso 5.2.3

Simplify each element.

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Paso 5.2.3.1

Resta $4$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Paso 5.2.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Paso 5.2.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 + 0 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Paso 5.2.3.4

Suma $- 3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & 1 - 4 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Paso 5.2.3.5

Resta $4$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Paso 5.2.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 + 0 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Paso 5.2.3.7

Suma $- 3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 & 0 + 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Paso 5.2.3.8

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 - 4 \end{array}]$

Paso 5.2.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ - 3 & - 3 & 0 \\ - 3 & 0 & - 3 \end{array}]$

Paso 5.3

Find the null space when $λ = 4$ .

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Paso 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & - 3 & 0 & 0 \\ - 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 5.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ - 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & 0 \\ - 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Paso 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ z \\ z \end{array}]$

Paso 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$