Álgebra lineal Ejemplos

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 65 = 36$

Paso 1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 1.1

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 65 - 36 = 0$

Paso 1.2

Resta $36$ de $65$ .

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 29 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 14$ y $c = x^{2} - 8 x + 29$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $29$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Resta $116$ de $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ .

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Paso 4.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $32 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $80$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 4.1.6.2.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.1.2

Reescribe $8$ como $- 2$ más $10$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7

Reescribe $4 (- x - 2) (x - 10)$ como $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ .

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Paso 4.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ .

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $29$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Resta $116$ de $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ en forma factorizada.

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Paso 5.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ .

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Paso 5.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $32 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $80$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 5.1.6.2.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.1.2

Reescribe $8$ como $- 2$ más $10$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7

Reescribe $4 (- x - 2) (x - 10)$ como $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ .

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Paso 5.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ .

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - 7 + \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $29$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Resta $116$ de $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ en forma factorizada.

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Paso 6.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ .

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Paso 6.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $32 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $80$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 6.1.6.2.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.2.1.2

Reescribe $8$ como $- 2$ más $10$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.7

Reescribe $4 (- x - 2) (x - 10)$ como $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ .

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Paso 6.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ .

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - 7 - \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 7 + \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

$y = - 7 - \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Paso 8

Establece el radicando en $\sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(- x - 2) (x - 10) \geq 0$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- x - 2 = 0$

$x - 10 = 0$

Paso 9.2

Establece $- x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.1

Establece $- x - 2$ igual a $0$ .

$- x - 2 = 0$

Paso 9.2.2

Resuelve $- x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 2$

Paso 9.2.2.2

Divide cada término en $- x = 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Paso 9.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Paso 9.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Paso 9.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.2.3.1

Divide $2$ por $- 1$ .

$x = - 2$

Paso 9.3

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.3.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 9.3.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 9.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- x - 2) (x - 10) \geq 0$ verdadera.

$x = - 2, 10$

Paso 9.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 10$

$x > 10$

Paso 9.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$(- (- 4) - 2) ((- 4) - 10) \geq 0$

Paso 9.6.1.3

$- 28$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 10$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 10$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(- (0) - 2) ((0) - 10) \geq 0$

Paso 9.6.2.3

$20$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 10$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 10$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 9.6.3.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$(- (12) - 2) ((12) - 10) \geq 0$

Paso 9.6.3.3

$- 28$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 10$ Verdadero

$x > 10$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 10$ Verdadero

$x > 10$ Falso

Paso 9.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 \leq x \leq 10$

Paso 10

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 2, 10]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x \leq 10}$

Paso 11